2015年数学高考“函数与导数”专题研究

林毓琴

【摘要】函数是高中数学的主干知识，常与导数相结合，构成形式多样的题目，在高考中占有重要的地位.

【关键词】函数；导数；高考

函数是高中数学的知识主干，亦是数学高考考查的重点，贯穿于整个高中数学教学的全过程.而函数问题在考查更多的是与导数相结合，从而发挥导数工具的作用.近年来，高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样，而且知识点覆盖广.笔者针对2015年高考数学的“函数与导数”的试题进行分析，希望能给读者一些启示.

高中新课程高考大纲对函数与导数的考查内容及要求文、理科大同小异，理科区别于文科主要体现在两个方面：理科要求“能求简单地复合函数（仅限于形如f（ax+b）的函数）的导数”、“了解定积分与微积分的基本定理”，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.因此，理科要求高于文科.

对于“函数与导数”这类题目高考的命题特点有：

一、考查题型和内容稳定

笔者通过整理课本和高考题目，发现“函数与导数”的问题出现的类型是比其他考点要稳定的.较常出现的基本题目类型可以归纳为以下四种：

1.用导数求切线（求曲线上一点处的切线方程；求过一点的曲线的切线方程）.

2.用导数求函数的单调区间.

3.用导数求函数的极值.

4.用导数求函数的最大（小）值.

在高考中，“函数与导数”问题较常出现的考试类型有以下六种：单调性问题、零点问题、极值点问题、恒成立问题、带量词的命题问题、证明不等式成立.

例1 （重庆卷·理20）设函数f（x）=3x2+axexa∈R.

（1）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围；

答案 （1）a=0，切线方程为3x-ey=0；（2）-92，+∞.

解析 此题属基本类型：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系.

考点为复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性.

二、突出对核心概念和主干知识的考查

函数的主要内容包括4个方面：

1.函数的基本概念的考查，即函数的定义域、值域、对应法则；函数的三种表示方法；函数的图像；

2.函数的基本性质的考查，即函数的单调性、奇偶性、最大（小）值、周期性；

3.基本初等函数的考查，即指数函数、对数函数、幂函数；

4.函数的零点的考查.

研究2015年高考试卷，可以发现，在选择题、填空题等小题里，主要就在这4个方面进行重点考查，有些小题还会综合考查到其中的2～3个知识点.

下面列举一道今年的高考题对此加以说明.

例2 （福建卷·理2）下列函数为奇函数的是（ ）.

评析 根据函数的性质及应用中，函数奇偶性的判断，基本函数：余弦函数奇偶性的判断.由奇函数的定义f（-x）=-f（x）逐一进行检验得知选D.判断函数的奇偶性关键要以定义域为前提，在满足定义域关于原点对称的前提下，再利用函数奇偶性的定义进行判断.

三、在知识交会处命题考查学生的综合能力

在《2015年高考考试说明》中写道，数学学科命题要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交会点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.根据这一要求，2015年的数学试题即注重了各个知识点内的纵向考查，又注重了不同知识点之间的相互交会，并且对原有的知识网络交会点进行了自然、适当的拓宽和延伸，这点在函数与导数的考查上尤为明显.

图 1例3 （福建卷·理13）如图1，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于.

答案 512.

评析 此题在概率和定积分的交会点处命题.考查了定积分求曲边梯形的面积以及集合概型的运用，关键是求出阴影部分的面积，利用集合概型公式解答.

几何概型是高考考察的重要知识点，通过分析利用积分就容易解决.实际中常涉及与几何概型有关的数学问题，如何把数学问题转化为几何概型中的数学模型，是解决这类问题的关键.

四、强调对“数形结合”“分类讨论”的数学思想的考查

评析 此题着重对“数形结合”的思想的考查.根据函数图像的信息，结合函数的定义域，函数零点以及f（0）的符号是解决本题的关键.