引入蝙蝠算法的最大似然DOA估计

冯舒 张志成 石要武

摘 要： DOA估计理论的传统算法中，最大似然DOA估计方法能准确地估计出目标方向角度，性能优良，并且具有很好的稳定性。与MUSIC及其他的子空间分解类算法相比，在信噪比较低、小快拍信号时，最大似然DOA估计算法优势更为突出。但是由于其自身算法复杂度较高的缺陷而碍于工程上的应用。针对这一问题，将蝙蝠算法与最大似然算法相结合，应用于信号的DOA估计，利用蝙蝠搜索算法搜索路径优、寻优能力强的优点，快速搜索到似然函数的全局最优值，优化多维非线性的估计谱函数。仿真结果表明，蝙蝠搜索算法有效地克服最大似然DOA估计中存在的运算量大，计算复杂度高等问题，通过与其他经典的仿生智能优化算法相比较，该方法体现出更好的收敛性。

关键词： DOA估计； 最大似然估计； 蝙蝠算法； 仿生智能算法

中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）08?0026?04

Introduction of bat algorithm into maximum likelihood DOA estimation

FENG Shu， ZHANG Zhicheng， SHI Yaowu

（College of Communication Engineering， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract： The maximum likelihood （ML） direction?of?arrival （DOA） method can estimate the angle of object direction accurately， and has an excellent performance and high stability， which is the better one in the traditional algorithms based on DOA estimation. Compared with MUSIC and other subspace decomposition class methods， the ML DOA estimation algorithm has more outstanding superiority when signal?to?noise ratio （SNR） is lower and snapshot signal is smaller. However， it is blocked in the engineering application due to its high complexity. To reduce the heavy computational burden of ML method and make it more suitable for engineering applications， the bat algorithm and the maximum likelihood algorithm are integrated to estimate signal DOA. The advantages of optimal search path and strong search capability of the bat algorithm are used to search the global optimal value of likelihood function quickly. The simulation results demonstrate that the bat algorithm can overcome the problems existing in the maximum likelihood DOA estimation， such as large amount of calculation and high computation complexity. Compared with other typical bionic intelligent algorithms， this method has better convergence.

Keywords： direction of arrival estimation； maximum likelihood； bat algorithm； bionic intelligent algorithm

0 引 言

阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支，其研究主要集中于对空间目标的波达方向（Direction of Arrival，DOA）的估计，在通信、雷达、声纳等众多军事相关领域应用广泛[1]。1988年，最大似然参数估计理论第一次被Ziskind L与Max M用于信号DOA估计，目前已有大量的研究成果。伴随学者们进一步的研究发现，最大似然算法（Maximum Likelihood，ML），MUSIC等典型的DOA估计算法都具有估计性能优良和很好的稳定性，但当信噪比较低，快拍数据较小时，子空间算法的估计性能明显不如ML。而且，当信源为相干信号时，子空间分解类算法需要加以特别处理，否则失效，ML却依然能对信号目标的方向角作出有效地估计。但用ML进行DOA估计时，由于寻求其全局最优解，不可避免的多维非线性特性和计算复杂度，不易求解，收敛性、实时性非常差，不利于工程应用，这也是最大似然算法遇到的最大的瓶颈[1?2] 。

针对最大似然DOA估计问题的复杂性，一些研究学者将仿生智能算法应用于信号的DOA估计，取得了一些效果。2002年，Li M将遗传算法应用于ML?DOA估计，首次实现了仿生算法的ML?DOA估计[3]。但结合后的算法在DOA估计的过程中容易产生过早收敛等问题影响估计值的准确性[4]。2006年，Boccato等人进一步将仿生智能优化算法中的微分进化算法（DE），粒子群优化算法（PSO）和克隆选择算法（CLONALG）应用于最大似然的DOA估计上[5]，并将它们的性能做比较，再次验证了仿生智能算法对最大似然DOA估计的有效性。2013年，李俊武等利用粒子群算法做最大似然DOA估计，性能表现良好，但由于粒子群算法自身的收敛慢，容易陷入局部最优解，在求解多个方向角同时估计时仍存在不足[6]。

蝙蝠算法（Bat Algorithm，BA）是2010年由剑桥大学的Yang Xin?she依据蝙蝠的回声定位行径而提出的仿生智能优化算法[7]。它在某些方面结合了粒子群优化算法、遗传算法以及和声搜索算法的优点，加以回声定位基础上的新特色，具有发挥更大作用的潜能。基于蝙蝠算法模型简单，搜索路径优，求解复杂问题时优化速度快等优点，将蝙蝠算法应用于最大似然算法DOA估计，解决最大似然DOA估计存在的计算量大，容易陷入局部最优等问题，将它与其他经典的仿生智能算法作比较，验证该算法在信噪比较低、相干信源等条件下仍然能准确地估计出目标信号的方向角。

1 最大似然算法的DOA估计

1.1 阵列信号模型

考虑有一个由M个阵元组成的均匀线阵接收信号模型，相邻阵元间距为d，阵元是均匀的且各向同性的，有P个窄带远场信号源以平面波入射，入射波长为[λ]。并假定噪声为高斯白噪声，其在空间和时间上均与入射信号相独立，均值为0，方差为[σ2n]。则阵列在k时刻的输出数据矢量为[8?9]：

[X（k）=A（θ）S（k）+N（k）=i=1Pa（θi）si（k）+N（k）] （1）

式中：[S（k）]表示P维目标信源复振幅矢量；[N（k）]表示M维加性噪声复矢量；[A（θ）]表示[M×P]维阵列流型矩阵；

[A=a1（θ1），a2（θ2），…，aP（θP）] （2）

式中，[a（θi）]结构如下：

[a（θi）=1M1，ejφ（θi），…，ej（M-1）φ（θi）T， i=1，2，…，P] （3）

式中：[φ（θi）=2πdλsin θi]，[θi∈-π2，π2]。

1.2 最大似然算法测向原理

假设噪声为平稳、空间和时间均不相关的高斯白噪声，均值为0，方差为[σ2]；源信号为未知的确定性信号，则有：

[E（X（t））=AS（t）] （4）

[cov（X（t））=σ2I] （5）

由概率论的理论分析可得，几个同分布并且相互独立的高斯随机过程的概率密度函数如下：

[f=t1（（2π）Mσ2I）12exp（-12σ2X（t）-AS（t）2）] （6）

这里“[·]”表示求矩阵的Frobenius范数，“[·]”表示求行列式的值。

整理可得，ML?DOA估计谱函数为：

[P（θ）=min1MNi=1MX（ti）-A（θ）AH（θ）A（θ）-1AH（θ）X（ti）] （7）

经过数学推导后可得代价函数：

[θ=argmaxθ tr{PA（θ）R}] （8）

式中：tr（）表示对矩阵的求迹运算；正交投影矩阵：

[PA（θ）=A（θ）（AH（θ）A（θ））-1AH（θ）] （9）

阵列时域采样空间的自相关矩阵的估计值[10?11]：

[R=1Mi=1MX（i）XH（i）] （10）

求解目标函数式（8）的最优值，由于该函数是关于入射方向角[θ1，θ2，…，θD]的多维非线性函数，通常具有复杂的局部极值结构，计算量大且找到全局最优解并不容易。

2 基于蝙蝠算法的最大似然DOA估计方法

2.1 基本蝙蝠算法

蝙蝠算法（BA）是一种模拟蝙蝠利用回声定位来搜索猎物而提出的随机搜索优化算法。

算法实现优化的过程是：在搜索空间中，所有蝙蝠具有不同的脉冲频率。起初，它们用较低的脉冲频度和较大的脉冲音强散布在空间中以寻找猎物，搜索到猎物（当前最优解）时，减小脉冲音强并且提高脉冲频度。将当前搜索到的位置和处于较优位置的蝙蝠进行比较，使蝙蝠飞向较优的位置，经过多次调整，蝙蝠个体都会处于猎物的位置（最优解）[12]。当前蝙蝠所具有的飞行速度取决于脉冲频率，选择移动蝙蝠的位置概率取决于脉冲频度和音强。

2.2 基于蝙蝠算法的最大似然DOA估计

在本节，将蝙蝠算法应用于空间信号的DOA估计问题，每一只蝙蝠位置 [Xi（i=1，2，…，n）]转化为[θij（t）（j=1，][2，…d；i=1，2，…，n）]，代表待估计方向角在第t次迭代过程中的n个解，d为相应的搜索维数。算法的搜索范围为（-π/2，π/2）。

对搜索空间中每个个体的速度[Vi]、脉冲频率[fi]（第i只蝙蝠的脉冲频率，开始时随机分配从[[fmin，fmax]]平均得出），脉冲速率[ri]和声音响度[Ai]初始化。并在相应的搜索范围内，随机产生解集[θij][（j=1，2，…，d；i=1，2，…，n）]，有：

[θij=θjmin+rand（0，1）（θjmax-θjmin） （j=1，2，…，d；i=1，2，…，n）] （11）

式中：[θjmin]为搜索范围的最小值，[θjmax]为其中的最大值。

ML的谱函数作为待搜索的目标函数，定义为：

[fitnessi（θji）=trA（θji）AH（θji）A（θji）-1AH（θji）R， j=1，2，…，d；i=1，2，…，n] （12）

评价计算出的目标函数值，找出当前最优解[θj?。]

蝙蝠个体的更新，通过如下公式调整频率产生新的解；

[fi=fmin+（fmax-fmin）β] （13）

[Vi（t+1）=Vi（t）+（θij（t）-θj*）fi] （14）

[θij（t+1）=θij（t）+Vi（t）] （15）

其中，[β∈0，1]是一个随机向量。

局部搜索时，产生一个随机数[rand1]，如果[rand1>ri]从最佳解集中选一个解[θjold]，在其附近形成一个局部解[θjnew]；

[θjnew=θjold+εA（t）] （16）

其中：[ε∈-1，1]是一个任意数字；[A（t）≤Ai（t）<]表示所有蝙蝠在这一迭代里的平均响度。

评估当前的解，当随机数[rand2]<[Ai]并且[fitness（θji）>fitness（θj*）]，接受这个新解，进行下一次迭代。同时，随着迭代过程更新[ri]和[Ai]，增大[ri]，减小[Ai]，公式如下：

[Ai（t+1）=αAi（t）] （17）

[ri（t+1）=ri（0）[1-exp（-γt）]] （18）

其中，[α]和[γ]是常数，[0<α<1，γ>0]。

按照以上算法进行多次迭代，当满足了终止条件（迭代次数为L或目标函数值达到某个阈值）时，最终将得到适应度最高的一组解，作为方向角的估计值[θ]。

3 实验与结果

3.1 收敛性分析

收敛速度的快慢是评价算法性能的重要指标之一。为了验证蝙蝠算法在最大似然DOA估计上的可行性，选择了3种常见的仿生智能算法，包括粒子群优化算法（PSO），微分进化算法（DE）和克隆选择算法（CLONALG），将它们分别与ML结合做DOA估计。利用Matlab仿真实验平台进行分析算法的收敛性。

实验条件：阵列模型采用阵元数为10的均匀线阵，信号载波波长的一半作为阵元之间的间距，快拍数为100，噪声为0 dB的高斯白噪声，搜索线阵范围为（-90°，90°），最大迭代次数为100，利用仿真平台进行 100 次独立的 Monte Carlo 实验，取实验结果的平均值。

图1表示信噪比分别在-0 dB和-15 dB，入射角度分别为（20°，30°）的两个信号源时，4种仿生智能算法的ML?DOA估计，适应度函数值随迭代次数的变化情况。其中，种群数量均为60，算法的其他参数做相应地调整。从结果可以得出，蝙蝠算法用最少的迭代次数达到最大似然估计函数的最大适应度值，较DE，PSO和CLONALG有更好的收敛性，明显提高了收敛速度，在信噪比较低的情况下仍然有效。

其他算法的收敛性的比较

当信源数目增加时，ML的计算量也随之呈现大幅度增加。图2表示三个信号源的入射角度为（20°，30°，50°）时，信噪比为0 dB，种群数量为100，四种仿生智能算法的ML?DOA估计，适应度函数值随迭代次数的变化情况。

随着入射信号数量的增加，四种算法都需要更多的迭代次数以满足找到最优解，其中克隆选择算法（CLONALG）更容易陷入局部收敛。从整体结果分析，所应用的蝙蝠算法较DE，PSO和CLONALG仍具有更快的收敛速度，优化能力更明显。

在相干信号源的条件下大部分子空间分解类算法基本失效，ML却仍能有效地估计出方位。图3给出了两个相干信号的入射角时（20°，30°），信噪比为0 dB， 种群数量为100，四种仿生智能算法的ML?DOA估计、适应度函数值随迭代次数的变化情况。从结果可以看出，在相干信号的入射条件下，四种仿生智能算法都可以找到似然函数的最优解，其中，蝙蝠算法需要更少的迭代次数就能得到最优解，收敛性能更优越。

其他算法的收敛性的比较

其他算法的收敛性的比较

4 结 论

本文针对最大似然DOA估计存在运算复杂度高，计算量大等问题，提出了一种基于蝙蝠算法的最大似然DOA估计算法。对所提出的蝙蝠算法和最大似然算法的结合给出了完整详细的步骤，并进行了相应的仿真实验。实验结果表明，本文提出的算法在保持了最大似然算法的高分辨性能的同时减少了计算量，与其他较受欢迎的经典仿真智能算法相比，具有控制参数少、优化速度快并具有潜在并行性和分布式等特点。该算法有着理想的收敛速度，有利于解决此类DOA估计问题，值得进一步研究。

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