高中物理课程中“物理—数学”模型的构建

李晶 付琨 胡万彪

摘 要：数学在物理中的运用是整个高中物理学科体系和教学体系最为明显的特征，也是学生最难理解和掌握的地方，更是我们在教学中应该特别关注的点。本文在David Hestene和Ibrahim Halloun建模教学理论的基础上提出从物理情境出发构建“物理-数学”模型，并论述了在高中物理课程中开展“物理-数学”建模教育的详细策略。

关键词：建模；“物理-数学”模型；物理情境

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）4-0019-5

受当前课程体系中物理和数学相互独立的影响，学生往往缺乏用数学的眼光来学习和解决物理问题的意识，这给高中物理教学带来了一定的困扰。

本文结合亚利桑那州立大学理论物理学家David Hestene及其研究生Ibrahim Halloun关于建模教学（Modeling Instruction）的研究，论述如何在高中物理课程中建立“物理-数学”模型，并提出了构建 “物理-数学”模型的详细策略，旨在通过建模活动引导学生树立“物理-数学”模型意识，学会在高中物理中合理地运用数学知识。

1 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教学理论简介

David Hestene是建模教学的创立者，他于上世纪80年代初期开始研究模型在物理教学中的发展和应用，并一直得到“美国国家科学基金会”的资助[1]。

David Hestene认为，物理建模就是“在具体物理情景中，根据实践需要建立物理模型，进而对物理模型进行分析讨论，验证其是否正确，最后将其应用于解决问题”[2]。1995年David Hestene在他的论文《Modeling software for learning and doing physics： Thinking Physics for Teaching》中论述了建模的3个步骤：模型建立、模型分析、模型验证，初步建立了物理建模教学的过程（如图1所示）。

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图1 David Hestene的建模过程[3]

Ibrahim Halloun在David Hestene的研究基础上，进一步将模型分为范围、成分、结构、组织等4个维度，同时将建模过程细化为模型选择、模型建立、模型验证、模型分析、模型拓展等5个阶段，强调根据个人的经验选择合适的模型，并将已建立的模型进行迁移运用。

2 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教学理论的启示

David Hestene和Ibrahim Halloun建模教学的具体价值在于引导学生分析问题、构建知识，这给笔者带来如下启示：

（1）在高中物理课程中运用数学工具的关键在于对相关物理问题进行“物理-数学”分析，并构建“物理-数学”知识体系；

（2）“物理-数学”知识体系的构建即“物理-数学”建模；

（3）“物理-数学”模型指的是物理课程中体现物理现象、物理情境、物理概念和规律的数学图形、数学图表、数学过程和数学关系，它具有明确的范围、成分、结构和组织；

（4）“物理-数学”建模指的是从物理现象、物理情境中挖掘出物理元素（即物理量）或参数，通过分析物理元素或参数的特征找出它们之间的数理关系，并通过数学方法建立和呈现出来；

（5）“物理-数学”分析一方面指的是分析物理元素或参数之间的数理关系，另一方面指的是运用“物理-数学”模型分析具体的物理问题，也就是Ibrahim Halloun在David Hestene的基础上提出的模型验证、模型分析和模型拓展；

（6）构建“物理-数学”模型是学生对相关物理问题进行“物理-数学”分析的基础，是培养学生从数学角度分析物理问题、解决物理问题的能力的具体方案。

3 构建 “物理-数学”模型的策略

3.1 构建“物理-数学”模型的策略结构

结合高中物理课程特点以及David Hestene、 Ibrahim Halloun的建模教学所带来的启示，笔者认为在高中物理课程中构建“物理-数学”模型需要把握住以下几个关键点：

（1）“物理-数学”模型源自于具体的物理情境；

（2）“物理-数学”模型需要建立在实践的基础上；

（3）浅显易懂是高中物理课程中“物理-数学”模型的最基本要求；

（4）学生感知到物理现象、物理情境中的数学知识是成功构建“物理-数学”模型的关键。

结合上述关键点，本文提出了在高中物理课程中构建 “物理-数学”模型的策略结构（如图2）。

上图中的策略结构在David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理论的基础上着重强调物理情境的分析，并强调学生对物理情境分析过程中情境元素、元素特征背后的数学过程、数学关系的感知。

3.2 构建“物理-数学”模型的详细论述

构建“物理-数学”模型离不开物理情境、实例和新物理情境中的实践，下文将从“基于问题情境的‘物理-数学模型的选择和建立”“基于实例的‘物理-数学模型的验证与分析”几个方面进行详细论述。

3.2.1 基于物理情境的“物理-数学”模型的选择和建立

一个有效的“物理-数学”模型的构建依赖于具体的物理情境，学生需要借助物理情境来感知物理中的数学知识与运用，其处理过程如表1所示。

针对上表，在实际教学中应把握住以下几个问题：

（1）对问题情境的分析是“物理-数学”分析法的一部分，在实际课堂中要注重呈现和强调问题情境的分析过程，强调学生对这一过程的感知程度；

（2）在实际教学中尽量用图形、图表来呈现“物理-数学”模型，避免复杂的文字描述；

（3）经验在“物理-数学”模型的建立中有着重要的作用，所以在实际教学中需要引导学生去积累分析问题情境的方法以及常用的、重要的数学知识。

3.2.2 基于实例的“物理-数学”模型的验证与分析

通过情境分析后建立的“物理-数学”模型的有效性和使用范围需要进一步的检验、分析和调整。

检验可以依托实例进行，这些实例包括相关的物理实验、物理现象和物理习题。在检验中可以引导学生从批判的角度对模型在实例中的运用进行分析，分析模型的范围、成分、结构和组织是否合理，并进行适度的调整。

3.2.3 基于新物理情境的“物理-数学”模型的拓展与运用

构建“物理-数学”模型的目的在于学生会运用数学解决相关物理问题，克服数学在物理中的运用困境。在实际教学中，学生对“物理-数学”模型的运用包括了直接运用、迁移运用和综合运用，其中迁移运用和综合运用是模型的拓展运用，在解决问题时至关重要。

在实际教学过程中，一个成熟的“物理-数学”模型需要反复的运用和拓展。首先，可以将已建立的模型再次放回原有的物理情境中从数学的角度上解决问题；其次，可以选取相关或相似的新物理情境与原来的物理情境进行类比迁移，迁移运用“物理-数学”模型；最后，在高中物理的学习中引导学生树立“数理不分家”的意识，学会用已经积累的“物理-数学”模型去分析和解决部分复杂的物理问题。

当然，讨论和交流在“物理-数学”模型的拓展运用中也是帮助学生理解和迁移运用的重要手段。所以，在教学中要避免“一言堂”，鼓励学生有新方法、新思维，创造积极的课堂气氛与讨论气氛。

4 构建 “物理-数学”模型的案例分析

本文选取人教版必修1 第三章第四节——《力的合成》为例，展示物理课程中构建“物理-数学”模型的教学过程，即“力的合成-向量运算”模型的构建过程。

4.1 模型的选择和建立

【物理情境】：一个成年人或两个小孩都可以提起相同质量的一桶水。

【情境分析】：

（1）情境元素：

①物理过程：提→力的作用。

②物 理 量：力（大人提水施加一个力F，小孩提水施加两个力F1、F2。其中，F为合力，F1和F2为分力）。

③数学概念：若F1=1 N，F2=1 N，则F=2 N吗？

（2）元素特征：

①力的数学特征：

力→既有大小又有方向（物理上定义为矢量）→即数学上的向量

②力F1、F2与F（即合力与分力）的数学关系：

合力与分力→分力的方向在同一直线上或不在同一直线上→向量运算法则。

模型一：若F1、F2同向，则F1+F2=F，方向沿F1和F2的方向；

模型二：若F1、F2反向，则F1-F2=F，方向沿较大的力的方向；

模型三：若F1、F2的方向不在一条直线上，则F1+F2≠F。

通过上述分析，我们初步建立了“力的合成-向量运算”的模型，范围是力的合成，其成分、结构和组织如上。

4.2 模型的验证和分析

我们会发现上述模型是初步的，并未解决F1、F2的方向不在一条直线上时他们与F的关系如何具体表示，需要进一步分析和改进该模型。

在模型验证阶段我们可以选用砝码、橡皮筋、白纸等器材，通过实验定量的验证并改进上述模型。模型一、模型二的验证如图3所示。

同样，模型三的分析和改进也可以借助上述实验，如图4所示。

经过验证和分析后，合力F与分力F1、F2的关系可以建立如下“力的合成-向量运算”的“物理-数学”模型（如图5）。

上述模型利用图形和适量文字突出了力的矢量性及其数学运算过程，浅显易懂，利于学生的理解和记忆。

4.3 模型的拓展与运用

在构建上述模型后可引导学生进一步思考：速度和位移也是矢量，是否满足上述模型？学生自然可以从力、速度、位移的本质是矢量这一角度迁移开来，从而将该模型拓展到所有矢量的运算上。

4.4 构建“力的合成-向量运算”模型与传统教学过程的比较

《力的合成》这一节的传统教学过程是：小孩提水引出合力与分力概念—提出两个分力F1、F2相加是否等于F的问题—实验探究得出两个力合成时用平行四边形。

但在实际教学中笔者发现：（下转第25页）（上接第22页）“向量运算”需要在高二上学期才会在数学中讲解，突然在物理中出现“平行四边形法则”显得比较突兀，学生也很难理解，在运用上也存在诸多困难。

而笔者所列举的构建“力的合成-向量运算”模型是通过物理情境分析找到力这一物理量与数学中向量的关系，并建立物理运算与数学运算的桥梁，并进行了有效拓展。这个过程中，强调学生参与物理情境的分析，并感知分析过程，解决了上述问题。

5 总结与展望

在高中物理课程中开展“物理-数学”建模教育是David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理论的实际运用和延伸。它能够培养学生运用数学解决物理问题的能力，能够训练学生的创造性思维，能够从一定程度上解决当前课程体系中数学进度普遍滞后于物理进度的困境。

当然，在高中物理课程中开展“物理-数学”建模教育、构建“物理-数学”模型在实际教学中仍需要开发更多的教学素材，开展更多的实际教学，形成更为完备的体系。

参考文献：

[1]张静，郭玉英.物理建模教学的理论与实践简介[J].大学物理，2013，32（2）：25—30.

[2]房金萍. 建构物理模型在高中物理教学中的实践研究[D].长春：东北师范大学硕士学位论文，2011.

[3]David Hestenes.Modeling games in the Newtonian World[J].American Journal of Physics1992，60（ 8 ）：732—748.

（栏目编辑 刘 荣）