高中数学解题思想的另一种解读q

学生的学习过程，是一个不断具体研究新问题，抽象概括形成经验，新问题成为熟知问题，不断积累，构建学生知识体系的过程。

观察一个新数学问题，通过对数学问题多次具体化实验，研究它们的共性，得到性质或规律，对它下定义，并翻译为代数语言、几何语言、解析几何语言，这是对实际应用问题的最初级的抽象化；利用定义下的性质和规律去解决实际问题，这是具体化。

学生遇到的数学问题分为熟知问题和新问题，熟知问题用已知的各种思想方法解决问题， 新问题分为可化归和不可化归问题，可化归新问题用联想、发散、分析、综合思想解决问题，不可化归新问题用具体化、抽象化解决问题。

一、应用问题

熟知的应用问题，直接翻译为代数语言（代数式、方程）、几何语言（平面、立体）、解析几何语言（平面、立体、函数、方程），数形结合从而解决问题。观察一个新的应用问题，通过对实际应用问题多次具体化实验，得到性质或规律，翻译为代数语言、几何语言、解析几何语言。再数形结合解决问题

二、函数与方程问题

在解一个函数与方程问题过程中，我们会遇到两类题，一类题是熟知的问题，一类是新问题，

1、熟知的问题

利用已经积累出的解题思想和方法解决问题，如熟知类型的问题，可以用待定系数法先设后算。

2、新问题，

1）通过实验，其中一部分可以通过化归变形为熟知问题；

代数式化归方法：

A、整式：因式分解，展开，配方（二次式），化分式，… b、分式：分式性质（分子、分母有理化），通分，分离，… c 、 无理式：分子、分母有理化，统一、分离根式，… d、 指数式：恒等式变形，提取公因式，… e 、 对数式：恒等式变形，统一、分离，… f 、 复合式：换元法，…

各式互化：就是这些代数式之间的相互转化，生式：利用运算性质构造出需要的一个式子。 消式：利用运算性质消去不需要的一个式子。

函数与方程：利用方程、方程组的所有性质进行恒等变形、消元。

2）另一部分是无法化归的新的函数与方程问题，我们要进行各种研究，把这些新问题，翻译为代数语言、几何语言、解析几何语言，通过具体化，而后抽象化研究，再通过合情推理和逻辑推理，形成解题思想和方法，把新问题就变成熟知问题。如：①函数一级抽象问题：从函数解析式取几组解，由代数语言抽象概括出函数性质，或由这几组解用描点法画出函数图像，抽象出函数的性质。②函数二级抽象问题：从含参函数解析式中取参数的若干的值，得到若干函数解析式或图像，抽象概括出这若干个解析式那些符合题意，具有应有的性质，那些不具有应有的性质。③函数三级抽象问题：无解析式的函数问题，可以具体化，估取若干符合已知的函数，或估画符合已知的函数的图像，然后抽象概括出函数问题的性质结论。

随着熟练程度的提高，可以用部分思想具体化代替书面具体化，最后全部用思想具体化而后抽象概括。

三、三角函数恒等变形

三角函数恒等变形，三角函数式的化简要遵循“三看”原则产生联想从而化归变形。

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.

①看同角与不同交的关系，善于把不同角化同角。

②看角和、差、倍、半的关系，善于拆角。

③看整体角之间的关系，发现整体角间的和差倍半的关系。

④看已知角和未知角间的关系，进行已知角与未知角的互化。

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”。

（3）三看“结构特征”和次数，分析结构特征，找到变形的方向.高次式要降幂扩角。

四、立体几何问题和不等式问题

通过调查可以看出，正向思维，从已知开始，通过联想、试验、综合思维，从已知推出发散的很多结论，继续联想、试验、综合、发散得出很多结论；逆向思维，从结论出发，回找它成立的条件，及条件成立的条件。立体几何问题和不等式问题难度大，常需要这种综合分析法寻找解题思路，不等式还可以用比较法、综合法、分析法、放缩法等。从结论出发， 回找它成立的条件是逆向思维；从结论的否定出发，回推，构造矛盾，就叫反证法。

五、解析几何问题

利用坐标系把几何条件转化为代数方程，解决几何问题，是解析几何主要解题思想，所以要迅速建立坐标系，设未知数和曲线方程，准备转化。

积极联想，综合使用几何条件得到代数方程，要寻找每个条件最适当的用法。得到方程组后，不要马上求解，阅读结论，进行逆向思维，通常按高考考察方向，解析几何有两种题型，求解题和两个变量的关系式题，根据未知数个数和方程个数判断解的可行性，不可解则条件未有完全使用，存在弱信号条件被忽略，重新审题，挖掘弱信号条件，完成解题思路。

六、平面向量，善于用向量几何语言，向量代数（基底思、化归）语言，向量坐标解析几何语言三种语言，形成的三种思想解决向量问题。

七、一类关于自然数的数学问题，可用数列有关知识，归纳猜想，类比猜想，数学归纳法解决有关问题。

（作者单位：陕西省山阳中学）