关于初中二次函数最值问题求解方法的若干思考

函数作为中学数学中核心内容，其概念以及反应函数思想方法早已渗透到数学知识的各个领域，逐渐成为学习数学的重要工具。其中二次函数的最值问题在中学数学试题是常考不衰，这类题型主要考查学生解题技巧，多以压轴题形式存在于各类考卷当中。因此有必要研究区间范围内求二次函数最值、含有字母系数的二次函数最值问题及日常生活中二次函数求解问题，望给学生提供一些参考帮助。

1 区间范围内求二次函数最值

初中函数学习中难度最大的问题之一即区间范围内的二次函数最值问题，除了要求学生掌握二次函数的性质，同时还要求学生具备一定的应用技巧。通常在一般情况下，对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），在顶点处取最值，即当 时，较易求解其最值为 ，在这种情况下求解二次函数最值问题相对简单，尤其限定了x的取值范围，例如当对称轴不在自变量x的取值范围内时，求解最值比较麻烦，针对上述情况需分情况讨论并结合二次函数的性质、图像进行求解。

1.1 定轴定区间

定轴定区间指函数区间、对称轴均为固定，一般求解此类问题相对简单，只需根据函数图像可判断最大值和最小值。

例如：求二次函数 在区间[-2，2]上的最大值和最小值。

解析：二次函数的最值在闭区间上可能出现在闭区间的端点上，也有可能出现在函数的顶点上，该二次函数的开口向上，不管是在顶点还是两个端点都有可能取得结果，同时还可根据区间范围以及函数对称轴画出函数图像，观察函数图像可得知最小值和最大值的问题，最后根据解析式可得知对称轴为x=1，观察图可得知其最大值在 取得，即 ，最小值应在x=1处取得，即 。

1.2 定轴动区间

定轴动区间指可以确定函数的对称轴，然而不能确定其闭区间，区间内有变量存在，一般这类问题主要查考学生是否清楚区间及其对称轴之间的相对位置关系。

例如，求y= -x²+2x-2在区间[t，t+1]的最大值和最小值

解析：该例题为函数的区间为变量，要求在解题过程中进行分类讨论，根据区间端点与对称轴的距离关系同时利用函数图像确定最大值和最小值的取值点。根据原函数可得知，函数图像的对称轴为x=1，当函数的对称轴在区间的右侧时即t+1<1时，当x=t+1时，ymax = -t²-1，当x=t时，ymin = -t²+2t-2，当函数的对称轴在区间的左侧时读者可以自己尝试去求，当函数的对称轴在区间范围内，即 时，当x=1时，ymax = -1，当x=t+1时，ymin = -t²-1。

2 系数含有字母的二次函数最值问题

二次函数在初中数学的一般表达式为 ，当系数a、b、c中存在变动系数时，通常这种情况下二次函数特指为含“字母系数”的二次函数，函数值y的取值会受系数取值变化影响。处理此类二次函数最值问题会将字母看作常数，通过求解出抛物线顶点的坐标表达式并结合自变量的变化，最后分类讨论求解。

例如：已经二次函数 ，分别求（1） <-2；（2）-2≤a≤2.（3）a>2三种情况时，求函数的最大值。

解析：根据题设可得知，二次函数图像的顶点坐标为

首先当 <-2，即 <-1，即 ，在-1≤x≤1上为单调递减函数，则当x=-1时，其函数最大值为-1-a.

其次，-2≤a≤2，即-1≤ ≤1时，则二次函数图像的顶点在-1≤x≤1范围内，则 时，函数最大值为 。

总而言之，在确定自变量范围情况时求解最值主要针对字母系数a的取值范围，之后再结合二次函数图像的顶点展开分析，判断自变量范围和顶点之间的关系，再根据二次函数在一定区间范围内单调性，从而判断出最值，也可画出图形进行直观性讨论，进一步提高解题效率。

3 二次函数在日常生活实际应用

日常生活中利润最大、耗费最低及材料最省的问题常常和二次函数的最值问题挂钩，由于此类问题的背景以日常生活实际和社会热点为主，因此一直是中考的热点和难点。

例：某服装店正在销售市场上流行的弹力裤，此弹力裤店主进价为40元1条，出售则以60元1条，每周销量300条，经市场调查研究发现，每条弹力裤价格上涨1元，每周销量减少10条，那么每条裤子价格下降1元，一周销量则会增加18件，求该弹力裤每条定价多少才可让店家盈利。

解析：根据题目本意应分两种情况讨论，即价格上涨和价格下降

首先，价格上涨，设每条裤子涨价x元，

则每周销售利润

则当

其次，价格下降，设每条裤子降价x元，

则每周销售利润为

则当 时，

得知，当弹力库定价为65元时，利润最大。

（作者单位：深圳市百合外国语学校）