一道带电小球问题的简洁解法



一道带电小球问题的简洁解法

■张郁林

在一堂物理习题课中，有同学提出了一个关于带电小球的问题，我经过思考给出了相对简洁的回答。问题是这样的：

图1

如图1，两个小球A、B所带的电荷量分别为q1、q2(同种电荷)，其质量分别为m1、m2，并且小球在同一水平面上，已知两个小球相碰后电荷重新分布(不一定均匀，两小球不要求相同)。求两个小球依然位于同一水平面上的条件。

解:设接触后l1、l2与竖直线夹角为α′、β′，A、B电荷的分布为q1′、q2′。

由力平衡得：

cosα=acosβ。

(1)

sinα=bsinβ。

(2)

(1)2+(2)2得a2cos2β+b2sin2β=1。

同理可得：a2cos2β′+b2sin2β′=1。

图2

由图2可以直观看出(也可以严格证明)，圆和椭圆在第一象限至多有一个交点，所以必有：

从上面的结果可以看出，小球相碰后仍处于同一水平线上的充要条件是两小球电荷分布不变(前者)或两小球电荷量互换(后者)。特别地，若两小球完全相同，即碰撞后电荷平均分布，则两球原来的电荷量必定相等。

附录:

下面简要给出l1=l2时的讨论和圆与椭圆在第一象限至多有一个交点的严格证明。

作者单位：山东日照一中高二Ⅲ部8班