浅谈带电粒子在电磁场中的运动

唐建国

【摘 要】 带电粒子在有界匀强磁场中的运动实质是一类运动问题，这一类运动由于研究对象的特殊（带电粒子，不计重力）和运动环境的特殊（有界匀强磁场）及处理方法的特殊而在所有运动问题中备受青睐。

【关键词】 带电粒子；电磁场；运动

【中图分类号】G633.2 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2016）07-0-01

带点粒子运动场境主要是匀强磁场或者匀强电场。这涉及到带电粒子在磁场中的速度和其它物理量，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，在匀强电场中做类平抛运动是基本问题。对应用数学知识处理物理问题的能力要求较高。1、分析受力。带电粒子在电场中受电场力，在磁场中受洛伦兹力。（不计重力）2、画轨迹。根据带电粒子的受力情况和初始状态，画出运动轨迹的示意图。3、找圆心。画出两条与入射速度和出射速度垂直的半径。或者画一条与入射速度垂直的半径。一条弦的中垂线，其交点就是圆弧的圆心。4、找辅助三角形。寻找已知量和半径有联系的三角形。根据数学知识写出有关的关系式。5、套规律。带电粒子在匀强电场中，做类平抛运动，根据平抛规律写出关系式。在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律写出关系式。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

1、圆心的确定

因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。

2、半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。如右图所示：

3、粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4、明确“φ=α=2β”

带电粒子沿垂直于磁场的方向进入有界磁场，其运动轨迹为一圆弧（优弧或劣弧），连接圆弧的两端点（入射点、出射点）即得弦，而粒子在入射点或出射点的速度方向即为该圆弧的切线。为了更准确的反映它们的关系，定义：

φ──偏向角，即粒子沿偏转方向转过的角度，反映在入射点与出射点的速度方向上；

α──回旋角，即粒子经过圆弧所对的圆心角；

β──弦切角，即粒子的速度与“弦”所成的角。

如图1所示，易证：φ=α=2β。

二、带电粒子在有界磁场中及电场中运动类型的分析

例1：一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m。电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为。现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。

解：粒子在磁场中做圆周运动。设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得①

式中v为粒子在a点的速度。

过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点。由几何关系知，线段和过a。b两点的轨迹圆弧的两条半径（未画出）围成一正方形。因此②

设有几何关系得③④

联立②③④式得

再考虑粒子在电场中的运动。设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动。设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得qE=ma⑥

粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r，有运动学公式得

⑦r=vt⑧

式中t是粒子在电场中运动的时间。联立①⑤⑥⑦⑧式得⑨

总之找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极值型问题

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

例题：半径r=10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B=0.33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的α粒子；已知α粒子质量电量，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？

分析：α粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动，其运动半径由一定；由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同；要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大；因而圆形磁场区域的直径OP即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦；故α粒子从点O入磁场而从点P出场的轨迹如图圆O所对应的圆弧示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。由前面计算知△SO/P必为等边三角形，故α=30°且θ=2α=60°。此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。如下图所示

总之，对一些基本规律如圆心的确定，偏转角和圆心角及弦切角的关系，圆形有界场中若带电粒子进入时速度方向过磁场圆心则出去时速度必过圆心等要熟练掌握和应用。这些规律应在学生进行一定量练习题目基础上进行引导得出，并通过相应练习题进行体会，不能一蹴而就，急于求成。

参考文献：

1.张兴刚；浅议带电粒子在磁场中运动的求解方法[J]；当代教育论坛（教学版）；2010年02期

2.岳亮；分析物理情景构建科学模型[J]；中学教学参考；2010年05期

3.李艳军；归类解析2009年高考电场类试题[J]；考试与招生；2010年02期

4.黄干生；带电粒子在交变电、磁场中的运动[J]；中学生数理化（高考版）；2010年01期