数值积分算法研究

尹雪红

【摘 要】本文介绍了求解数值积分的复合求积公式，并将龙贝格算法进行改进，并用MATBLE对三个公式进行编程，在精度及算法上进行了比较，并制作出用户图形可视化界面。

【关键词】龙贝格算法；复合辛普森公式；复合梯形公式；MATLAB

一、复合求积公式

当积分区间[a，b]较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精确度是很难得到保证的。因此，在实际应用中往往采用复合求积的方法，如；复合梯形公式，复合辛普森公式，龙贝格算法。这几个公式具有更大实用价值的数值积分公式。

（一）复合梯形公式介绍

复合梯形公式：. 若将所得积分近似值记为Tn，并令则上式即为：

，

若f（x）在积分区间[a，b]上分别具有二阶，四阶，六阶连续导数，则复合梯形公式的余项为：， 其中， 且当h充分小时，有 .

（二）复合辛普森公式介绍

仿照复合梯形公式推导过程可得复合辛普森公式即：

.

若f（x）在积分区间[a，b]上分别具有二阶，四阶，六阶连续导数，则复合辛普森公式的余项为 ， 其中， 且当h充分小时，有.

（三）龙贝格求积法公式的简化

一般地为了便于上机，记 。

记号：其中k代表积分区间的二分次数，m代表近似值所在序列的性质。引入上面的记号后，龙贝格算法可统一表示成

二、龙贝格算法改进

龙贝格算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形法产生的近似值进行加权平均，以获得准确度较高的近似值的一种方法。但是如果用的最佳一致逼近多项式来代替被积函数可能会得到更高的数值积分计算公式，本文就是在此思想的基础上对抛物差值预处理法作了改进，从而得出了比龙贝格算法及抛物差值预处理法更高的方法。

首先，给出最佳一致逼近多项式的依据性定理

（二）数值分析

从上表可以看出，龙贝格算法其实是在复合辛普森公式递推的基础上生成的一种精度高，而且收敛速度也比较快的一种算法。而改进的抛物插值法比龙贝格法和抛物插值法在相同的计算步数下精度都要高，至于抛物插值法和改进的抛物差值法第四步的误差变大是由舍入误差引起的。

四、结束语

本文讲了三个求积公式：复合梯形公式，复合辛普森公式，龙贝格算法，它们的共同点都是等距节点下的求积公式。复合梯形公式和复合辛普森公式与龙贝格算法相比较，虽然其精度通常较差且计算工作量较大，但由于使用方便，在计算积分近似值时，也常常用到它们。最后得出改进的抛物插值法比龙贝格法和抛物插值法在相同的计算步数下精度都要高。

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