换元法在解题中的应用

文湖南省郴州市嘉禾县第一中学　李石勇



换元法在解题中的应用

文湖南省郴州市嘉禾县第一中学李石勇

换元法是一种非常重要的数学方法，可以通过变换研究对象将问题移至新对象的知识背景中，将非标准型问题标准化，不熟悉的问题熟悉化，复杂的问题简单化。

例1求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最值。

当t=- 1时，ymin=- 1，当时，

点评：sinxcosx是二次式，sinx+cosx是一次式，令t=sinx+cosx，变形后可化为二次函数在闭区间上的最值问题，使问题迎刃而解。

解：令t=x- 1，x∈[5，10 ]，则t∈[4，9 ]，得

总结：分式函数，若分子二次，分母一次，则用换元法将分母整体换元并拆开，转化成形如，即值域为，u∈D型函数求值域；同理，若分母二次，分子一次，则用换元法将分子整体换元并同除分子，转化成形如为常数型函数求值域。