弹丸空气阻力定律全定义域解析函数经验公式*

倪庆乐,王雨时,闻 泉,张志彪

(南京理工大学机械工程学院,南京 210094)

弹丸空气阻力定律全定义域解析函数经验公式*

倪庆乐,王雨时,闻 泉,张志彪

(南京理工大学机械工程学院,南京 210094)

为找出1943年弹丸空气阻力定律、航弹阻力定律在全定义域内的有理解析函数经验公式,从而便于通过计算机编程进行外弹道数值解算和求解析解,运用1stOpt数学软件对1943年弹丸空气阻力定律和航弹阻力定律在其全定义域内进行了曲线拟合,对应各阻力定律得到了通用于全定义域的有理解析函数经验公式。这些经验公式均不再分段。其中拟合1943年弹丸空气阻力定律的经验公式最大相对误差为3.271%,拟合高阻和低阻航弹阻力定律的分别为1.914%和3.328%。

外弹道学;经验公式;空气阻力;阻力定律;阻力系数

0 引言

在外弹道计算中,空气阻力系数是重要的参数。目前工程设计中的外弹道解算多数仍采用弹丸弹形系数概念和弹丸空气阻力定律,并且其精度一般均能满足工程设计要求[1]。目前身管武器弹丸常用的阻力定律主要是1943年阻力定律,但1943年弹丸空气阻力定律是以表值形式给出的。为了便于空气外弹道解算计算机程序编制,并作进一步的解析分析,需要对该表值定律进行曲线拟合,转换成解析形式。文献[2]给出的1943年弹丸空气阻力定律的阻力函数经验公式,以250 m/s、400 m/s、1 400 m/s为速度节点将阻力函数曲线分为4段,同样应用不方便。文献[3]曾用三次抛物线分段拟合方法给出了1943年阻力定律的解析函数表达式,其误差虽然不大于4%,但分段过多,在外弹道编程应用中不方便。文献[4]对文献[3]的曲线分段拟合方法进行了改进,以跨音速段的最大值为界分亚音速段和超音速段两段,利用Logistic曲线进行拟合处理,给出了1943年阻力定律的分段解析函数表达式,其最大误差为5.05%。文献[5]采用三次B样条曲线对1943年阻力定律进行拟合,最大误差为2.2%,但由于是根据递推定义所做的曲线,对曲线中间点的值只能通过前面点推导得出,不能由一个解析式表达出整条曲线,过程繁琐,不便于推广使用。航弹阻力定律也有与此类似的问题。文中为找出1943年阻力定律、航弹阻力定律在全定义域内的直观的有理解析函数经验公式,拟运用1stOpt软件对其进行拟合。

1 曲线回归理论基础与1stOpt软件简介

1.1 曲线回归理论基础

曲线回归是以最小二乘法分析变量间在数量变化上的特征和规律的方法,主要用来确定两个变量间数量变化的某种特定的规律,估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数(极大值、极小值、渐近值等),进行数值内插或理论上的外推。

最小二乘法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配,将实测值yi与拟合函数对应值yj离差的平方和∑(yi-yj)2最小作为优化判据。

相关系数是用以反映变量之间关系密切程度的统计指标,是按积差方法计算,以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间的相关程度。相关系数恒小于1,其值越接近于1表明两者相关程度越高。

方差用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度,也可以反映出随机变量或一组数据的离散程度,方差越大,离散程度越大。设x是一个随机变量,若E{[x-E(x)]2}存在,则称E{[x-E(x)]2}为x的方差,其中E(x)表示x的数学期望。

1.2 1stOpt软件简介

1stOpt是我国七维高科有限公司独立开发的一套数学优化分析综合工具软件包,主要用于曲线拟合、非线性复杂模型参数估算求解、线性/非线性规划等领域。1stOpt软件不仅操作界面简单,而且其核心的通用全局优化算法克服了当今世界上优化计算领域使用迭代法必须给出合适初始值的难题,即不需要用户给出参数初始值,在绝大多数情况下,仅依靠自身的全局搜索能力,从任意随机值出发,即可求得最优解。

1stOpt拥有强大的非线性回归功能,可自动搜索最匹配的模型公式。对常用的两变量及三变量问题,1stOpt模型公式分别预置有超过3 700和近1 000个函数式,且可根据需要自行随意添加修改。

2 1943年弹丸空气阻力定律的拟合

2.1 1stOpt软件自动拟合函数

文献[6]给出了1943年弹丸空气阻力定律表值函数,包含了Ma从0～4.9之间的共169组数据(Ma在0.7～2.1之间间隔0.01,Ma在2.1～4.9之间间隔0.1)。在1stOpt软件代码框内输入相应的命令代码和1943年阻力定律的表值数据,设置好算法后进行拟合,拟合过程采用的算法为麦夸特法+通用全局优化法。1stOpt软件会自动将数据和预置函数进行匹配拟合,并按相关系数由大到小依次列出。

拟合所得的相关系数最高的曲线方程为:

(1)

式中:y为空气阻力系数;x为马赫数;p1、p2、p3、p4、p5、p6、p7、p8、p9为待定系数。

拟合所得的待定系数共有15位有效数字,分别是:

p1=0.154 944 442 142 445

p2=-2.645 771 025 713 59

p3=-0.389 894 040 604 623

p4=2.742 885 185 889 92

p5=0.381 002 068 711 428

p6=-1.499 032 921 978 55

p7=-0.237 775 531 351 884

p8=0.471 410 603 010 32

p9=0.114 120 378 908 769

其最大相对误差为3.355%,方差为2.047 8×10-3,最大相对误差点在Ma=0.91处。拟合曲线如图1所示。

图1 1943年阻力定律拟合曲线

2.2 数据均匀化处理

在2.1节拟合所依据的数据中,Ma在0.7～2.1之间时间隔0.01,在2.1～4.9之间时间隔0.1,这就造成了2.1～4.9之间的数据在拟合中的权重偏小。为了能使各数值点在拟合中的权重相等,对2.1～4.9之间的数据进行线性插值,使其间隔为0.01,得到共490组数据。利用1stOpt软件对490组数据进行拟合,得到相关系数最大的方程形式仍同式(1),但拟合所得的待定系数值与式(1)的略有不同:

p1=0.157 182 242 292 442

p2=-2.697 961 914 717 5

p3=-0.422 569 444 115 854

p4=2.834 248 695 049 56

p5=0.448 824 524 761 816

p6=-1.495 221 097 605 56

p7=-0.266 930 620 397 897

p8=0.412 922 615 928 505

p9=0.100 836 885 531 747

其最大误差为3.906%,方差为2.242×10-3,最大相对误差点在Ma=0.91处。与2.1节拟合所得结果比较可知:对数据进行均匀化处理后拟合得到的最大误差和方差与未进行处理的结果基本相同,因此推荐使用2.1节所得结果,在后续拟合中不再进行数据均匀化处理。

2.3 待定系数有效数字位数的选取

由上面所得结果可以看出,拟合所得待定系数的位数较多,不便于计算和应用,因此需要讨论待定系数的位数对拟合曲线精度的影响。

不同有效数字位数的待定系数拟合效果的比较列于表1中。从表1可以看出,当待定系数有效数字位数为3～5位时,其拟合效果与最优解拟合效果基本上接近,所以在应用中可以将待定系数取3位有效数字。

表1 不同有效数字位数的待定系数拟合效果的比较

2.4 待定系数的优化

将所有待定系数按四舍五入法则处理后取5位有效数字所得的拟合曲线与最优解拟合曲线虽然很接近,但是仍存在一定的偏差,为此,可依次将其中一个待定系数作为待优化项,将其余待定系数赋予5位有效数字的近似值,确定新的拟合方程进行二次拟合,依此来对待定系数进行优化。

从表2可以看出,对待定系数进行二次拟合与将

表2 二次拟合与最优解取5位有效数字的拟合效果比较

最优解取3位有效数字的拟合效果基本相同,因此,1943年弹丸空气阻力定律的有理式拟合结果为:

(2)

或

(3)

3 航弹阻力定律的曲线拟合

航弹阻力定律分为高阻航弹阻力定律和低阻航弹阻力定律。文献[7]给出了高阻航弹阻力定律、低阻航弹阻力定律的表值函数,包含了Ma从0～1.5之间的各20组数据。利用相同方法对高阻弹、低阻弹阻力定律进行曲线拟合。拟合所得的相关系数最高的高阻弹阻力定律拟合方程为:y=p1+p2x2+p3x4+p5x8+p6x10+p7x12+

p8x14+p9x16+p10x18+p11x20

(4)

(5)

高阻弹、低阻弹阻力定律拟合方程待定系数取不同位数时拟合效果的比较如表3所列。

由表3可看出,利用此方法可以很好的对高阻航弹阻力定律、低阻航弹阻力定律进行曲线拟合,拟合结果为拟合方程中的待定系数均取5位有效数字,即对于高阻航弹:

y=0.581 98+0.397 84x2-5.088 6x4- 53.419x8+49.707x10-0.020 752x12- 37.437x14+30.065x16-9.889 8x18+ 1.216 4x20

(6)

而对于低阻航弹:

(7)

高阻航弹阻力定律、低阻航弹阻力定律的拟合曲线分别如图2和图3所示。其最大相对误差分别在Ma=0.9和Ma=0.8处。

图2 高阻航弹阻力定律拟合曲线

图3 低阻航弹阻力定律拟合曲线

4 结束语

文中利用1stOpt软件对1943年阻力定律、高阻航弹阻力定律、低阻航弹阻力定律进行了曲线拟合,结果表明:该方法可以很好的拟合各阻力定律,可表

示为一个全定义域内的通用解析函数经验公式,不再是分段函数,便于计算程序编制和做进一步解析求解;该方法拟合精度也更高,对1943年阻力定律拟合的最大误差为3.271%,低于两段Logistic曲线拟合时的最大相对误差5.05%,对高阻航弹阻力定律拟合的最大误差为1.914%,对低阻航弹阻力定律拟合的最大误差为3.328%,均可以满足弹道解算精度要求。而对于通过风洞试验和计算流体力学仿真所得的弹丸阻力系数与马赫数之间的对应数值关系,也可按此方法给出类似的全定义域内的解析函数经验公式。

[1] 杨翔, 王雨时, 闻泉. 应用阻力系数拟合曲线解析式数值解算外弹道诸元 [J]. 弹箭与制导学报, 2014, 34(5): 151-155.

[2] 浦发, 芮筱亭. 外弹道学 [M]. 修订本. 北京: 国防工业出版社, 1989: 39-40.

[3] 王雨时. 外弹道学阻力定律的三次抛物线分段拟合 [C]∥辽宁省兵工学会第5届学术年会论文, 1994.

[4] 王雨时. 弹丸战斗部及其破片空气阻力系数的Logistic曲线分段拟合 [J]. 弹箭与制导学报, 2006, 26(1): 242-244.

[5] 赵静, 杜忠华, 赵永平, 等. 基于三次B样条曲线的一维弹道修正弹空气阻力系数拟合 [J]. 火力与指挥控制, 2015, 40(4): 123-126.

[6] 徐明友. 火箭外弹道学 [M]. 北京: 兵器工业出版社, 1989: 352.

[7] 浦发, 薛晓中, 程豫生. 航空炸弹弹道学 [M]. 北京: 中国人民解放军空军后勤部军械部, 1986: 41.

Empirical Formulas of Projectile Air Resistance Law in Whole Definition Domain in Analytic Function

NI Qingle,WANG Yushi,WEN Quan,ZHANG Zhibiao

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In order to find out rational analytic function empirical formulas of projectile air resistance law and aerial bombs resistance law in 1943 in the whole definition domain to proceed numerical calculation of exterio trajectory and analytical solution by computer programming, using 1stOp mathematical software was used to fit curves of projectile air resistance law in 1943 and aerial bombs resistance law in the whole definition domain. Rational analytic function empirical formulas common to the whole definition domain was got corresponding to the resistance laws. These empirical formulas are no longer segmented. The maximum relative error of empirical formula fitting projectile air resistance law in 1943 was 3.271%, and the maximum relative error of empirical formula fitting high resistance aerial bomb and low resistance aerial bomb air resistance law were 1.914% and 3.328% respectively.

exterior ballistics; empirical formula; air resistance; resistance law; resistance coefficient

2016-03-08

江苏省2015年度普通高校研究生科研创新(实践)计划项目(KYLX15_0334)资助

倪庆乐(1991-),男,河北衡水人,硕士研究生,研究方向:引信设计及其动态特性的研究。

TJ012.3

A