一题多变，培养学生数学思维

张全军●

江苏省泗洪县洪翔中学(223900)



一题多变，培养学生数学思维

张全军●

江苏省泗洪县洪翔中学(223900)

数学靠的是思维，只有有了思路，才能往下进行，一环接着一环，环环相扣，少了任何一步都没办法得到正确答案，就如车子一样，少了任何零件都是无法行走的.

高中数学；一题多解；数学思维

一、公式推导，发展过程思维

公式是数学的根基，就如一座房子，没有根基的话，何谈防震，那么仅仅记住公式就可以了吗？不是的，我们不仅要记住，还要会运用，并理解它的原理，针对性地在题目中应用，而不是乱用，套用，我们在公式推导中运用多种方法的话，学生应该更容易掌握.下面我们具体推导一个等差数列的公式.例如在学习苏教版《等差数列》的相关内容时，要对等差数列的相关公式进行透彻细致的理解和记忆.等差数列，顾名思义，就是数列中的各项从第二项起，每一项和前一项的差值是相等的，我们把这个固定的差值通常用d表示，那么我们设数列从a1开始，即数列为a1、a1+d、a1+d+d，…第二项我们用a2表示，即a2=a1+d,依次类推a3=a1+d+d=a2+d=a1+2d.我们观察出了在等差数列中，第n项和a1的差值为n-1个d,所以an=a1+(n-1)d.我们刚才是从首项开始的，现在我们把它倒转过来，即该等差数列的第一个为an,相邻两项的差值为-d,所以数列为an,an-d,an-d-d……即an-a(n-1)=d，a(n-1)-a(n-2)=d，a(n-2)-a(n-3)=d……a2-a1=d.我们为了便于大家理解，先让前两项相加，(an-an-1)+(an-1-an-2)=an-an-2=d+d=2d.依据类推，(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)=an-a1=d+d+…+d=(n-1)d，所以an=a1+(n-1)d,由此可以得出公式不仅可以正推，也可以逆推，即所谓的一题多解，这样才能使得学生印象深刻，理解也更透彻.

数学公式可以说数不胜数，只有彻底的解析，多种方法交汇，才能达到更好的教学效果，因为学生的思维是活的，展开这种多途径推导模式有助于发展学生的过程思维.

二、例题讲解，渗透发展思维

仅仅把公式掌握了是不够的，我们还需要把公式运用到题目中，因为考试考的是题目，而不单单是公式，题目是公式运用的场地，且是多种公式联合应用，因此难度较大，这就需要开启学生更深层次的思维了，我们举一实例来说明.

例如在学习苏教版《等差数列》的相关内容时，已知数列{an}的前n项之和为Sn=2n2-n,求数列{an}的通项公式，很多同学一遇到这种题目就发怵，感觉无从下手，也没有个具体数值，其实这是纸老虎，它是非常简单的，遇到这类题目我们就从第一项开始分析，即a1=S1=2×12-1=1,Sn-1=2(n-1)2-(n-1),又因为an=Sn-Sn-1=[2n2-n]-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3,所以很简单.但是这就算结束了吗？接下来是考你的细心程度，遇到这种题目，是要求学生求通项公式，那么就要求所求的公式适用于该数列的任何一项，但是有一项比较特殊，我们需要检验它，即第一项a1，因为它可以根据题目给的Sn的公式直接求出数值，但是和我们根据后面所求的该数列的通项公式所求的a1数值是否一致，需要代入公式计算，如果一致，我们可以说该数列的通项公式为an=4n-3,如果不一致，那么a1的值要按代入S1的值为正确答案，且要在解题过程中说明，另外对于所求的数列an的通项公式要这样写，即an=4n-3(n≥2),如果a1也适用于该数列，也要在后面括号标注n≥1，只有这样，评分老师才觉得这个学生的思路缜密，也才能得到高分.

细节决定成败，所以不仅要会解题，还要缜密，不漏掉每一个扣分点，错误可以犯，但是吸取教训，善于总结，才能体现教师讲解的意义，也才能渗透学生的思维，每一次的讲解和总结，最后落到高考试卷上都是数目可观的分值，不可小视这些过程.

三、习题训练，升华创新思维

纸上谈兵，一直是一个很好的反面教材，学习数学亦如此，理解得很透彻，思路也很清晰，如果不做习题，恐怕是竹篮打水一场空.

(1)例如在学习苏教版《集合》章节的的相关内容时，设集合A={x|(x-1)(x+2)≤0}，集合B={x|x<0}，则A∪B=( ).

A.(-∞,0) B.[-2,0) C.(-∞,1] D.[1,+∞)

在进行该问题的解答时，学生既可以从集合的基本定义出发，首先求出集合A、B的范围，进而可进一步求出集合A、集合B的并集，这种方法是解答该题目较为常规的方法.当然，学生在进行该题目解答的时候也可以在掌握常规解题方案的同时，通过反复的习题练习，从题目中升华创新解题的思维，学生在进行该题目解答的时候，可以将数学集合的求解与集合A、B代表的取值范围的几何含义相结合起来进行解答，此时应用数形结合的解题理念进行该题目解答时，很多问题就迎刃而解了.

[1]王志英.普高学生数学解题错误的成因分析与对策研究[J].新课程，2012(06).

[2]朱欢.提高高中数学学困生解题能力的策略研究[J].才智，2012(11).

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