刍议高中数学中求二面角的学习技巧

张雨嫣●

湖南省长沙市麓山国际实验学校(410000)



刍议高中数学中求二面角的学习技巧

张雨嫣●

湖南省长沙市麓山国际实验学校(410000)

二面角的求解是高中三维立体几何中，难度比较大的一类，这一向是我们高中数学学习过程中的重点与难点，也是历届高考中经常出现的考点之一.在解决这类题目时，由于题中给出的几何图形千姿百态，使得我们很难对二面角做出判断，从而影响解题的速度与质量.本文针对立体几何中出现的有无棱的二面角题型，提出了不同解题过程中的技巧，并强调了向量法在解决二面角问题中的重要性.

立体几何；二面角；学习技巧

二面角是历年高考中必要的考点之一，同一考点所呈现出的题型和几何情景及模型等种类非常多，常见的有二面角中两个平面不在同一个水平位置，或者是两平面形成的二面角为钝角.解题过程中平面角的做法，通常一共有三种：垂面法、定义法和三垂线法.在具体的题目中，如何选择合适的方法是我们面临的主要问题之一，在往年的高考题目中，三垂线法是解决二面角问题的主要方法，其方法的难点在于如何确定垂足的位置，来做出合适的垂线.

一、已知棱二面角求法

通过平面内的一条直线，将平面分成两部分，这两部分都可称作半平面.该直线为棱，两个半平面沿此棱所形成的图形称作二面角，每个半平面称作二面角的面.二面角的平面角度是衡量二面角大小的标准，平面角度为多少度，所对应的二面角即为多少度.二面角为九十度时被称为直二面角.对二面角概念的认识是解决问题的关键.在二面角棱已知的问题中，首先要审清题目，如果题目中已经出现了二面角的平面角度，首先要解决的就是证明该角就是二面角，随后求出相应值即可.而且应注意辅助线并不是必须的，在通过观察确定没有很明显的二面角情况下，再作辅助线或者辅助面可有效解决问题.作辅助线或面首先要考虑的是其对更加便捷证明或解决二面角问题具有帮助，这是解决题目的关键所在，不能盲目地作出辅助线或面.在做辅助线或面时，要注意从定义出发，在二面角棱上取恰当一点，随后过该点在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，该射线所形成的夹角即为二面角的大小.如果以定义为出发点，很难解决二面角问题的时候，可以适当地选用“垂面法”或者“三垂线法”将原本两面的二面角问题转化成其它二面角或者有关的角度问题来进行解决.垂面法是首先作一个垂直于棱的平面，该平面与二面角的两半面相交于两条直线，两直线形成的夹角即为二面角的大小.三垂线法是利用三垂线的逆定理，通过证明三线相互垂直做出二面角的平面角，关键是如何找出面的垂直.

二、未知棱二面角的求法

在很多二面角的题型中，题干没有给出二面角棱的称之为无棱二面角.解决该类问题的关键是如何找出二面角的公共棱，进一步将无棱二面角问题变成有棱二面角问题来解决.根据我们遇到的题目，我总结有以下几种转化的方法.

1.平行线法

平行线法依据的是平面与直线相互平行的性质.在二面角其中一个半面内作出一条直线与另一个半平面相互平行，再作一通过两直线公共点的直线平行于上一条直线，则该直线即为两平面的棱.

2.平移法

平移法的依据是若存在一个平面与两个平行的平面相交，则两两平面形成的角相等或者互补.解题步骤是首先将二面角其中一个半平面平移至合适的位置，最终得到一个与要求的二面角互补或相等的二面角，然后根据上述二面角解决方法求解出具体的值.

3.两点法

两点确定后一条直线，然后确定所求二面角的棱，最后根据二面角解题方法确定二面角的值.

4.垂面法

已知两个平面均垂直于第三个平面，则两平面的交线必定垂直于第三个面.所以，解题时先做出一个平面能够垂直于两个半平面，则第三个平面与二面角两个半面的交线形成的角则为该二面角的平面角.

三、向量法求二面角

在利用向量法解决二面角的问题时，要首先保证x，y，z三个轴能够两两相互垂直，而且建立的坐标系要保证有利于向量问题的解决.利用向量时主要有以下两种方法，首先，可以从二面角的棱分别在两个半面内作两条向量，保证两向量垂直于棱，则两个向量的夹角即为所求二面角的大小.或者找出两个半平面的法向量，则两个半平面法向量的夹角即为所求二面角的大小或补角.向量法解决问题时思路比较简单，易于理解，但是运算起来比较复杂，容易出错.

综上所述，通过对我们学习过程中立体几何问题的总结，整理出了两种常见的立体几何模型，并对其二面角大小的解法进行了分析讨论.除了文中介绍的几种，我们还可以有效地利用等积法和射影面积法等解决二面角的题目，综合运用以上几种方法，可以较好地提高我们的问题推理能力，有效地解决平常遇到的二面角问题，对我们的高中数学学习具有一定的帮助.

[1] 苏承湖，陈永民.三棱锥的侧棱所成的角与侧面所成二面角的关系[J].数学通报， 2006，6

[2] 余继光.一个空间模型中立体几何问题的教学案例[J].数学教学，2003，4

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