计算结果的近似处理方法

于梦梅

在解答物理计算问题时，计算结果往往会出现非整数（小数点位数较多或除不尽）的情况，需对其作必要的近似处理。由于物理计算是应用物理知识通过一定的计算研究物理量之间的关系，其计算结果不仅是数量关系的表述，而且具有一定的实际的物理意义，若近似处理不当，会使整个解题功亏一篑，因此，能否正确处理计算结果是解题成功与否的关键一步，掌握正确处理计算结果的方法，是运用物理知识分析解决相关问题的必备的技能之一。对于具体问题，应在应用相关物理知识对计算结果进行分析的基础上，以符合有关的物理规律和实际情况为前提，确定正确、合理的处理方法。常用的计算结果的近似处理方法有以下几种：

一、四舍五入法

一般情况下，可依数学上的“四舍五入法”来处理计算结果（计算结果用有限小数表示），即根据题意确定保留位数，之后的那一位数字若小于或等于4，则将它和后面的数字全部舍去；若大于或等于5，则在需保留的最后一位数字上加1，再舍去后面的数字。

1.根据题目要求“四舍五入”

有些计算中，考题明确提出“保留×位小数”，只需按要求对计算结果“四舍五入”即可。

图1例1.有一种电子秤的原理图如图1所示，它主要由三部分构成：踏板和压力杠杆ABO，压力传感器R（电阻值会随所受压力大小发生变化的可变电阻），显示重力大小的仪表（实质是电流表），其中AO长20cm，BO长5cm，压力传感器R的阻值与所受压力的关系如下表所示。踏板和杠杆组件的质量可以忽略不计，电源电压为6V。

（1）重300N的学生站在踏板上时，双脚与踏板的接触面积为0.07m2，此时对踏板的压强是多大？

（2）当重300N的学生站在踏板上时，通过压力传感器R的电流为

________________________________________

A。（保留两位小数）

解析：（1）学生对踏板的压强p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa

采用“四舍五入法”，因保留的两位小数后的那一位是“4”，应舍去“4”及其后面的所有数字，故学生对踏板的压强p≈4285.71Pa。

（2）当重300N的学生站在踏板上时，根据杠杆平衡条件可得F×AO=F′×BO，故压力传感器所受的压力

F=F′×BOAO=300N×5cm20cm=75N

分析表格数据可知，每当压力增大50N时，压力传感器R的电阻减小3Ω。当压力为50N时压力传感器R的电阻为27Ω，故压力为75N时压力传感器R的电阻等于27Ω减去3Ω的一半，即R′=27Ω-1.5Ω=25.5Ω。此时通过压力传感器R的电流

I=UR′=6V25.5Ω≈0.235294A

采用“四舍五入法”，因保留的两位小数之后的那一位是“5”，应进位加“1”，“5”后面的所有数字舍去，故通过压力传感器R的电流I≈0.24A。

2.根据实际情况“四舍五入”

有些计算中，考题并没有明确提出“保留x位小数”的要求，需根据实际情况、经验常识或相关知识对计算结果“四舍五入”。

例2.小明用一把刻度尺测量物理课本的长度，四次测量结果依次为：25.79cm、25.80cm、25.81cm、25.82cm。则物理课本的长度是

cm。

解析：多次测量，用求平均值的方法来处理测量数据，可减小测量误差

物理课本的长度

l=25.79cm+25.80cm+25.81cm+25.82cm4=25.805cm

根据刻度尺的使用规则，测量值的最后一位数字是估读的数字，故该刻度尺的分度值是mm。平均值所取的位数必须与题中所给测量值的位数相同，即小数点后应保留两位小数，将小数点后第三位的“5”“四舍五入”，故物理课本的长度应是25.81cm。

例3.有甲、乙两个金属工艺品，从外观上很难辨认出它是什么物质。现测得甲的体积和质量分别为15cm3、290g，乙的体积和质量分别为5.4cm3、48g。根据表中数据可判断出这两个工艺品可能分别是由物质制成的。

解析：密度是物质的基本性质之一，利用密度可鉴别物质。

甲工艺品的密度

ρ甲=m甲V甲=290g15cm3≈19.333333g/cm3

乙工艺品的密度

ρ乙=m乙V乙=48g5.4cm3≈8.888888g/cm3

由密度表可知，固体的密度一般保留一位小数，“四舍五入”后，ρ甲≈19.3g/cm3=19.3×103kg/m3，ρ乙≈8.9g/cm3=8.9×103kg/m3，故甲物质可能是金，乙物质可能是铜。

例4.在“测量小灯泡的电功率”实验中，电源电压保持不变，小灯泡的额定电压为2.5V。某实验小组的实验记录分析表如下：

（1）你认为该小组的数据处理过程是否正确？

答：

________________________________________

；理由是：

________________________________________

。

（2）小灯泡正常发光时的电阻为

________________________________________

Ω。

解析：（1）由实验记录分析表可知，实验小组的计算结果P额=0.48W+0.70W+0.96W3≈0.713333W，将计算结果“四舍五入”保留与测量值的小数点后的位数相同，即得P额=0.71W。这种计算额定功率及其处理计算结果的方法貌似正确，其实是错误的。因为小灯泡在不同电压下的实际功率不同，小灯泡在额定电压下的功率是额定功率，由数据表可知，P额=0.70W，故求不同电压下的实际功率的平均值作为小灯泡的额定功率是错误的；理由是：额定功率不等于各功率的平均值。

（2）小灯泡正常发光，即其两端电压等于额定电压，此时小灯泡的电阻

R=U额I额=2.5V0.28A≈8.928571Ω

由于实验中测得的电压值和电流值的小数点后最多为两位，故计算结果也应保留两位小数，“四舍五入”后，小灯泡正常发光时的电阻为R=8.93Ω。

点评：通常情况下，“四舍五入法”是处理计算结果的首选方法，计算结果大多只需保留二至三位小数即可。若考题没有明确要求，则计算结果小数点后的位数应与题给的相关数据的小数点后的位数相同。

二、收尾进一法

有些情况下，不能采用“四舍五入法”，而应根据实际需要采用“收尾进一法”来处理计算结果，即不管计算结果的尾数（小数点后面的数）是多大，均向整数部分的个位上进一后取整数。这类考题中常有“至少”、“最少”、“最多”等关键词，多为解答有关最值（最大值、最小值）或计算结果为整数的问题。

例5.每只瓶子的容积均为1.5L，现要装质量为35kg的酒精，则至少需要多少个这样的瓶子？（酒精的密度为0.8×103kg/m3）

解析：质量为35kg的酒精的体积

V=mρ=35kg0.8×103kg/m3=0.04375m3=43.75L（1m3=103L）

需要瓶子数

n=VV瓶=43.75L1.5L≈29.166666个

因瓶子个数必须为整数而不能为小数，若采用“四舍五入法”取n=29个，显然装不完酒精，故应采用“收尾进一法”，将尾数去掉进一后取整，即至少需要30个这样的瓶子。

图2例6.一货箱重104N，一根绳子只能承担3×103N的力。现要站在地面上向下拉绳子使货箱上升，至少要用几个滑轮？如何绕绳，画出其装置图。

解析：根据滑轮组的动力与阻力的关系可知，承担货箱重力的绳子段数n=GF=104N3×103N=3.33段

因绳子的段数必须为整数而不能为小数，故不能采用“四舍五入法”而认为n=3段。若取n=3段，则绳子实际承担的力

F=Gn=104N3=3.33×103N>3×103N

超出了绳子承受力的限度，绳子会被拉断。因此，应采用“收尾进一法”，即取n=4段。

组成F=14G的装置，至少需要3个滑轮，其中2个动滑轮，1个定滑轮；又因人站在地面上向下拉绳子，应再加1个定滑轮。如图2所示。

例7.学校用标有“36V 25W”字样的彩色灯泡来布置晚会会场，在照明电路上可以串联多少盏这样的彩灯？

解析：照明电路的电压为220V，每盏彩灯的额定电压为36V。串联的彩灯数

n=UU灯=220V36V=6.11盏

由生活经验可知，彩灯盏数不能为小数，若依“四舍五入法”的原则，取彩灯盏数n=6时，串联后每盏彩灯两端的实际电压

U实=Un=220V6=36.7V>36V

此时彩灯两端的实际电压大于其额定电压，灯泡容易被烧坏，造成电路断路，故应采用“收尾进一法”，即取n=7盏。若再增加串联的彩灯数，则每盏彩灯因分压过低而不能“正常发光”，可见串联7盏彩灯是唯一的答案。

点评：在实际问题中，遇到计算结果不能为小数只能取整数时，如瓶子个数、绳子段数、彩灯盏数等均应为整数，此时要考虑采用“收尾进一法”。具体分析时，可先按“四舍五入法”取整数，再根据实际情况的“限制条件”进行判定，如例5中应将酒精装完、例6中绳子承受拉力的限度、例7中彩灯的实际电压不能超过其额定电压，从而确定是否将小数部分“收尾进一”。

三、去尾取整法

有些情况下，根据实际情况应采用“去尾取整法”来处理计算结果，即将计算结果的尾数（小数点后面的数）不论大小一律舍去，只保留整数。

例8.教学楼的总保险盒中的保险丝允许通过的最大电流为30A，楼内有24间教室，每间教室装有6盏40W日光灯。当全部日光灯都发光时，最多还能在楼梯走廊处再接25W的电灯多少盏？

解析：照明电路的电压为220V，保险丝允许接入的总功率

P总=UI=220V×30A=6600W

教学楼日光灯的总功率

P日光灯=40W×24×6=5760W

最多接入的电灯盏数

n=P总-P日光灯P电灯=6600W-5760W25W

=33.6盏

因电路中最大工作电流不得大于保险丝允许通过的最大电流，或者电路中用电器的总功率不得大于保险丝允许接入的总功率，否则保险丝容易熔断。若采用“四舍五入法”或“去尾进一法”，取34盏，则教学楼日光灯和电灯的总功率

P总′=40W×24×6+25W×34=6610W>6600W

（或电路中最大正常工作电流：I=P总′U=6610W220V=30.1A>30A）。

故应采用“去尾取整法”，即取n=33盏。

图3例9.在新农村建设中，用一种厚度为8cm、密度为2.4×103kg/m3的长方体砖砌墙，砌墙使用的水泥砂浆的密度为2.2×103kg/m3，砖缝间水泥砂浆的厚度为1cm，如图3所示。为保证安全，墙体对墙基的压强不得超过4.9×105Pa，求此砖墙的高度不得超过多少？

解析：设墙的底面积为S，砌好的墙中砖的总厚度为h1，砖缝间水泥砂浆的总厚度为h2，则墙的高度h=h1+h2。因砖的厚度为8cm，砂浆的厚度为1cm，则有h1∶h2=8∶1，故h1=8h2。 墙体中砖的总重

G1=m1g=ρ1gh1S

砂浆的总重

G2=m2g=ρ2gh2S。

墙体对墙基的压强

p=G1+G2S=ρ1gh1+ρ2gh2=（8ρ1+ρ2）gh2

故砂浆的总厚度

h2=p（8ρ1+ρ2）g

=4.9×105Pa（8×2.4×103kg/m3+2.2×103kg/m3）×9.8N/kg

≈2.34m

砖的总厚度

h1=8h2=8×2.34m=18.72m

墙的最大高度

h=h1+h2=18.72m+2.34m=21.06m

若不对计算结果进行处理，取墙的最大高度为h=21.06m，则墙体对墙基的压强

p=（8ρ1+ρ2）gh2

=（8×2.4×103kg/m3+2.2×103kg/m3）×9.8N/kg×2.34m

=4.907448×105Pa>4.9×105Pa，超过了墙基能承受的压强。

若采用“四舍五入法”或“去尾进一法”，取h=21.1m或h=22m，则墙体对墙基的压强同样超过了墙基能承受的压强。故应采用“去尾取整法”，即砖墙的高度不得超过h=21m。

点评：在实际问题中，可先采用“四舍五入法”或“去尾进一法”处理计算结果，若不能保证“安全”或超出“限制条件”时，考虑将小数部分“去尾取整”。