基于压缩感知的图像降噪处理研究

于海宁，江景涛，尚书旗

(青岛农业大学 机电工程学院，山东 青岛　266109)



基于压缩感知的图像降噪处理研究

于海宁，江景涛，尚书旗

(青岛农业大学 机电工程学院，山东 青岛266109)

摘要：在农产品图像的动态采集中，可能会出现粘结、叠加及背景干扰等一系列缺陷，同时稀疏采样的图像也可能是不完整的。对于这个棘手的问题，由压缩感知理论可以找到答案。压缩感知理论首先对采集的图像进行稀疏表达，然后选取适合图像的最优小波基，采用凸优化理论及其算法，可以得到花生图像的特征点(降噪点)并进行处理，从而完成噪声的去除。为此，在压缩感知理论的基础上，提出了运用快速迭代阈值收缩(FISTA)算法进行去噪处理，与其他的图像降噪方法相比，体现了速度快、效率高、去噪效果好等优势。

关键词：花生；压缩感知；降噪；重构算法

0引言

图像处理技术逐步成为农产品检测的重要工具，并取得了可喜的成果。图像去噪问题是图像处理的重中之重，以前的图像去噪技术只是在空间域或频域的对图像进行特定分析,在去除图像噪声时给图像的边缘可能带来损伤，使处理后的图像边缘变得模糊不清。小波变换具有良好的局部分析能力，在去噪的时候可以能保持图像边缘部分，但图像的某些具体的纹理部分去噪效果不好。所以，研究出一种速率快、质量高、效果好的去噪方法已迫在眉睫。

近年来,压缩感知[1]CS(Compressed Sensing)理论的研究深受科研者的追捧，并取得了一定的成就。压缩感知超越了经典的奈奎斯特定理，提出了对采样获得的稀疏信号同时进行采样与压缩的计算理论，大大缩短了计算时间。其定义指出：假设信号在某个变换域是可压缩(稀疏)的，便可以通过某个观测矩阵，将信号在变换域从高维映射到低维空间上；然后提取极少量的投影信息来进行重构，最终得到一个近似度很高的原始重构信号[2]。

在实际的农产品动态图像采集中，采集到的图像一般都受到叠加、粘结等不同程度噪声污染，使得这种信号不是理论上规定的稀疏信号，但在某种程度上仍为可压缩信号。在已研究出的压缩感知理论中，要求重构的信号在特定变换域中具有稀疏性，但噪声的加入在一定程度上干扰了信号的稀疏度。因此，在运用最优化方法进行重构计算时，若对含噪信号进行简单的稀疏性约束，会使重构精度存在一定的误差[3]。此时，可采用压缩感知中的凸优化理论的恢复信号算法进行去噪。这一方法的关键在于选取适合花生图像的最优小波基，得到花生图像的特征点，然后进行噪声的去除，得到完好的图像。

1压缩感知原理

1.1理论基础

2004年，Candes[4]和Donoho等人利用泛函分析和逼近论原理，在稀疏理论基础上，提出了一种新型的信号恢复计算理论—压缩感知理论。其含义是：当信号具有一定的稀疏度(可压缩)时，选取某个线性测量矩阵将高维稀疏信号投影于低维区域，利用极少数的投影的测量值，进行最优化问题的计算，最后完成对原始信号的恢复。压缩感知理论研究主要包括稀疏信号的变换与分解、测量矩阵的选择和重构信号的算法等3个方面。稀疏分解是应用压缩感知的前提条件，测量矩阵是压缩感知的关键步骤，重构算法是获取最终重构结果的有力手段。

1.2稀疏分解

压缩感知的依据是压缩信号。设定x为一个特定长度的稀疏信号，x被认为在Rn上的N×1列向量，元素x[n]，n= 1，2，…，N。存在正交基变换函数Ψ，使得信号x进行变换时可表示为

(1)

式中s—x在正交基Ψ上的投影向量。

若信号x的非零向量的数量少得可以忽略，换言之，非零向量的数目K<

y=Φx=ΦΨs=Θs

(2)

式中Θ—CS算子或者叫感应矩阵。

本文以花生仁图像为例，采用离散小波化进行计算，就是说运用二维离散小波化理论对花生仁图像进行小波变换，在其水平和垂直方向分别分解为高频子带和低频子带，使其满足图像处理的需要。小波变换[4]的定义为

(3)

其中，a为收缩因子；b为移动因子；ψ(x)为小波基函数，如图1所示。

图1　小波基函数

在实际理论计算过程中，离散小波化是很重要的。离散化其连续变换的伸缩因子a和移动因子b进而得到离散化小波变换(见图2)的定义为

(4)

在对称性、正交性的小波基选择的前提下，采用规则性系数相近理论[5]，通过恰当的滤波器函数进行计算，可以获得最佳的小波基函数。

1.3测量矩阵

压缩感知的测量就是给原稀疏信号的采样和压缩在同一时间进行处理的过程。 采样是将信号x映射到测量矩阵Φ上,其具有与变换域不相关性；压缩是信号由高维到低维完成映射的过程[6]。其中，测量矩阵Φ需必须符合限制等距的准则(RIP),即

(5)

其中，常数ε∈(0,1)。

本文针对于花生图像，采用高斯测量矩阵。这是因为它与任何稀疏信号都不相关，且完全符合RIP，并能大大提高处理的速度与精度。但是，假使混有噪声因素，那么得到观测向量为

y=Θs+e

(6)

图2　小波变换

其中，e为噪声信号。

1.4重构算法

重建信号是由极少数的非自适应的稀疏信号完成的，它是严格的根据最优化问题，则

min‖s‖0s.t·Y=φΨs=Θs

(7)

式中‖·‖0—l0范数；

S—重构的信号的稀疏度；

Y—测量信号。

若信号混有了大量的噪声，当噪声方差确定为固定值时，求解以下方程的最优化问题，即

(8)

其中，ε为噪声信号的方差的数值。

信号的重建(见图3)是从投影得的测量信号y恢复原稀疏信号x,但式(2)和式(6)有无数个解，是一个NP欠定问题，不能直接重构信号。若式(2)和式(6)中的Θ是稀疏的，那么可以通过求解式(7)和式(8)得到稀疏系数，代入式(1)进行重构计算获得原始信号x[7]。这一重要的转变使其演变成了凸优化理论问题，可以在线性规划中找到答案。

2凸优化理论

(9)

一般的凸优化理论计算步骤如下：

2)不等式限制。gj(x)≤0。其中，gj(x)是一个凸函数。

3)等式限制。hk(x)=0。其中，hk是一对仿射。

凸优化理论的数学建模可以表示为minf(x)。

s.t.gj(x≤0)(i=1,2,...,Nje)

hk(x)=0(k=1,2,...,Ne)

与其他数学优化算法理论相比，凸优化理论存在一个局部最小点，所有的最小值是凸的，且若有函数有一个最小值，则最小值必唯一等优点，也具有了一些比较成熟的算法。

图3　压缩感知重构信号图

3快速迭代阈值收缩算法(FISTA)

对于稀疏采样得到少量信号，将会在变换域中提取少量的投影进行信号的重构，那么最优化线性问题可以转化为

Ax=b+w

(10)

其中，A∈Rm×n和b∈Rm都是给定已知的；w是一个不确定的噪声向量。

上述的问题经典算法是在最小二乘算法(LS)基础上，进行获取最优解的计算。但在一般情况下，LS的解决方案会有巨大的范数，因此作用甚微。为了解决这个困难，l1正则化[9]方法的稳定性可以解决，并得到了科研者的追捧，其目的是求解，则

(11)

其中，‖x‖1代表x分量的绝对值的和，l1导出最优解的稀疏性。在图像去噪中，A=RW。其中，R为模糊矩阵，W为小波基。

在许多实践应用中，大量的决定性变量及稠密的矩阵数据，妨碍了适用内点法的种种优势，对于这种问题，解决式(11)的流行方法之一是迭代阈值收缩(ISTA)算法[10]。

xk+1=Γλtk[xk-2tkAT(Axk-b)]

(12)

其中，tk是一个合适的步长；Γα:R→Rn为收缩子。其定义为

(13)

对于一般的ISTA模型，延伸到普通问题式(11)上，则有

(14)

其中，g:Rn→R是一个粗糙的、连续的凸函数，f:Rn→R是一个凸函数的梯度。此时，若存在一个常数L，其满足

‖Δf(x)-f(g)‖≤L(x)‖x-y‖x,y∈Rn

(15)

xk+1=proxtk(g)[xk-tkf(xk)]

(16)

(17)

因此，ISTA的简单性取决于计算感应的能力。当g(x):=λ‖x‖1，那么此操作和软阈值相同，便于计算；当g为全变差函数时，则prox计算基于全变分问题[11]；当g(·)是可以分离时，prox计算可简化为一个一维的最小化问题。在以上种种情况下，ISTA的收敛速率都不会超过O(1/k)。ISTA的每一步迭代是一个梯度的平滑收缩的操作，其优点就是简单性，然而在全局收敛速度还是比较缓慢的。基于函数测量值的全局性和测量方法的有效性，提出了快速迭代阈值收缩算法(FISTA)[12]。其求解的一般问题是

(18)

这里f和g都是凸函数。该算法收敛到目标函数值时是非常快速的，速率为O(1/k2),其与ISTA一样满足计算的简单性和需求性要求，但是速率却提高了不少。

快速迭代阈值收缩(FISTA)算法之所以提高收敛速率，使其速率可以达到O(1/k2)，是因为在求解式(16)问题时不是在每次迭代中都需要多个梯度评估，只是在前两步迭代中计算一个选择性的线性组合进行求解，那么此时需要确定FISTA 的步长。

FISTA特定步长确定如下：

输入L=L(f)-A

步骤1y1=x0∈Rn,t1=1

步骤k(k≥1) 。

计算得

FISTA的不同之处在于：迭代收缩步骤yk+1的求解未使用先前的一点xk-1，而是用具体的前两个点(xk-1,xk)线性组合的特定点yk，ISTA和FISTA的主计算量仍然是相同的，但速度提高了很多。

4实验结果及分析

本实验以鲁花11号花生为代表，对花生图像添加噪声均值为0、方差为0.02的白噪声，采用7.1aMATLAB,lenovoWin7PC,i3处理器，2.1GHZ,2GB内存计算机及其设备进行处理，运用当前比较流行的基于小波理论(WT)[13]、偏微分方程(PDE)理论[14]、多尺度总变分(MTV)理论[15]、基于压缩感知的正交匹配追踪(OMP)理论[16]、平行坐标下降算法(PCD)理论[17]及快速迭代阈值收缩(FISTA)去噪理论，分别对花生仁图像进行去噪处理，得到的不同实验对比结果如图4～图11所示。

图4　原始图像

图5　噪声图像

图6　WT算法

图7　PDE算法

图8　MTV算法

图9　OMP算法

图10　PCD算法

图11　FISTA算法

从上面的图像结果可以看出：这些去噪算法都在一定程度上消除了图像的噪声，但部分图像的连续性和边缘性的效果不佳。这些去噪算法所用的时间及其降噪后图像的峰值信噪比如表1所示。

表1　不同去噪方法的处理结果

通过不同去噪算法的峰值信噪比、处理时间的对照，可以看出：FISTA的去噪效果是最好的，不但信噪比的数值较高，而且运行时间很短，大大加快了图像处理的速度，提高了整体运算效率。

5结论

1)在花生图像的压缩感知的稀疏表达分解中，合适的小波基的选择是至关重要的，因其具有良好的局部性，对花生图像处理的边缘及特征提取影响很大，并直接影响图像的质量。

2)在压缩感知的测量矩阵中，采用高斯测量矩阵，确保了其完全符合RIP准则，与任何变换域的信号都不会具有相关性，并奠定了信号重构的基础。

3)在图像重构算法上，其原则是利用极少数测量投影信号快速、精确地重建原始信号。对于花生图像，使用快速迭代阈值收缩(FISTA)算法，可以在3s内迭代40次，并迅速得到清晰的重构图像，效果显著，纹理图像清晰明朗，去噪效果理想。

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Abstract ID:1003-188X(2016)02-0012-EA

Image Denoising Method Based on Compressed Sensing Theory

Yu Haining， Jiang Jingtao， Shang Shuqi

(Mechanical and Electrical Engineering, Qingdao Agricultural University, Qingdao 266109, China)

Abstract：In the Agricultural images obtained by the dynamic acquisition, there exist many defects such as bonding, superposition and the background interference. In addition, the image obtained from the sparse sampling of the peanut is not complete. All above problems can be solved by the compressed sensing theory. First, compressed sensing theory have a sparse expression for the capture picture, and then select the best wavelet basis for peanuts image, the use of convex optimization theory and algorithms can get the feature points (noise points) of peanut image. Finally, the image noise can be removed completely. Experiments show that the compressed sensing theory in the process of peanut image denoising possesses many excellent properties such as high efficiency, better denoising result and other advantages compared with the traditional methods of image denoising.

Key words：peanut; compressed sensing; noise reduction; reconstruction algorithm

文章编号：1003-188X(2016)02-0012-05

中图分类号：S126；TP391.41

文献标识码：A

作者简介：于海宁(1988-)，男，山东威海人，硕士研究生，(E-mail)yuhaining007@163.com。通讯作者：江景涛(1963-)，女，山东青岛人，教授，硕士生导师，(E-mail)jjtao_2518@163.com。

基金项目：国家公益性行业(农业)科研专项(201203028.1)

收稿日期：2015-01-26