具积分边值条件p－Laplacian 型微分方程解的存在性

宋文晶 史允均

(吉林财经大学应用数学学院,吉林 长春130117)

起源于热传导、地下水流、热电弹性、等离子物理等的积分边值问题以及在生物学、神经网络等方面广泛应用的时标问题是近些年的热点。本文研究如下具积分边值条件的p－Laplacian型微分方程解的存在性：

其中φp(·)是p－Laplace算子,连续,Τ表示时标,g(s)∈L1([0,T]Τ),A是一个实的常数。

C[0,T]Τ表示[0,T]Τ所有连续函数构成的Banach空间,范数定义设算子则问题(1)的解等价于积分方程

的解。

定义算子F：C[0,T]Τ→C[0,T]Τ为

则问题(2)表示为(I－K)u(t)＝(Fu)(t)

类似文献[3],易证：

引理1.算子F：C[0,T]Τ→C[0,T]Τ是全连续算子。

定理1.假设(H0)(H1)成立,则问题(1)至少存在一个解。

证明：只需证明等价积分方程

至少存在一个解。

定义 H：[0,1]×C([0,T]Τ)→C([0,T]Τ)为 H(σ,u)＝(K＋σF)u,易证H是全连续的。

设hσ(u)＝u－H(σ,u),则有h0(u)＝(I－K)u,h1(u)＝[I－(K＋F)]u。

为了对函数运用Leray－Schauder拓扑度理论,所以只需在C[0,T]Τ上存在球BR(θ),使得

半径 R充分大时,有θ∉hσ(∂BR(θ))

则对任意给定的

u∈∂BR(θ),都存在一点t0∈[0,T]T,使得经计算有

综上可知,hσ(u)≠θ,从而有θ∉hσ(∂BR(θ))。根据拓扑度同伦不变性可得

deg(h1,BR(θ),θ)＝deg(h0,BR(θ),θ)＝±1≠0.由Kronecker存在定理知,方程(1)在BR(θ)至少存在一个解。

[1]Ionkin N I.Solution of a Boundary Value Problem in Heat Conduction Theory with Nonlocal Boundary Conditions[J].Differential Equations 1977,(13)：294-304.

[2]Yu Chegis R.Numerical Solution of a Heat Conduction Problem With an Integral Boundary Condition[J].Litovsk Mat Sb,1984,(24)：209-215.

[3]宋文晶,高文杰.Existence of solutions for nonlocal p－Laplacian thermistor problems on time scales[J].Boundary Value Problems,2013,(1)：1-7.