浅谈三种数学形式间关系对学生思维能力的培养

朱忠

摘 要： 数学具有抽象性、逻辑性和思维性，正是这三种特性决定了数学在当今社会处于主导地位，因此，一方面是知识的教学，另一方面是思想方法的教学，

数学学习的效果和质量，不仅表现在学生深刻而又牢固地掌握系统的数学学科的基础知识和基本技能，而且表现在通过教学发展学生的数学思维和提高他们的数学能力。由于其自身的特点，它的逻辑体系，以及各部分之间的层次关系，极大地影响着学生思维的发展和能力的提高。

一、何谓数学思维

所谓数学思维是指人脑对事物的本质和事物之间规律性地反映在数学中的具体体现。它是数学认识活动中的核心成分，是对客观现实中数量关系和空间形式的概括、间接的反映。数学思维过程，是通过分析综合而在头脑中获得对客观现实数量关系和空间形式全面、本质的反映过程。在分析综合过程中，运用比较确定事物之间的异同和关系，在此基础上，概括出具有某些特征的事物，而抽出某种事物的属性或特征，使它们在思想上和事物本身的其他特征隔离开来，这就是抽象思维。

二、如何发展学生思维、提高数学能力

从现代观点来看，随着社会的飞速发展，知识要不断更新，每个人都需要不断学习，补充自己，适应不断变化的形势。因此，学习不仅仅是在理解的基础上掌握和记忆所学的知识，更重要的是掌握探索和解决所要认识的问题的方法。这种素质的获得要与基础知识的教学紧密结合起来，从学习大量的知识内容中获得思想方法，发展能力，从反复练习中学会运用这种思想方法和发展能力，这就是为什么在数学教学方法和形式中赋予习题特殊地位的原因。因此，对教师而言，无论采取什么样的教学手段，达到什么样的教学目的，都必须选择一些与教学大纲的学习内容有联系的习题，使学生通过解题有效地掌握这些内容，从而形成数学思维能力和一定的思想素质。

三、三种数学形式间关系对学生思维能力的培养

这里所说的三种形式是指一元二次方程ax■+bx+c=0，二次三项式ax■+bx+c，以及二次函数y=ax■+bx+c（a≠0）。

1.三种数学形式之间的关系

（1）从式的角度看，ax■+bx+c=0及y=ax■+bx+c为方程式，前者为一元二次方程式，后者为二次方程式，而ax■+bx+c为代数式，是二次三项式。（2）从函数角度看，ax■+bx+c与y=ax■+bx+c为二次函数，ax■+bx+c=0为方程。从函数定义上讲，对于ax■+bx+c，x为一变量，ax■+bx+c为另一变量，且ax■+bx+c随x的变化而变化，即一个代数式是其中变量的函数。即ax■+bx+c为x的二次函数，如5x■+3x+2是x的二次函数，而y=ax■+bx+c显然y是x的二次函数。可见，着眼函数ax■+bx+c与y=ax■+bx+c是完全相同的函数，就会在坐标系中出现同一图像，只不过ax■+bx+c是用代数式表示函数的关系，而y=ax■+bx+c是用数学解析式表示的函数关系。（3）从函数的图像来看，ax■+bx+c=0，ax■+bx+c与y=ax■+bx+c三者处在同一图像系统之中，这是三种数学形式是这样的密切和融洽，把不同性融于统一性中。（4）从三者的值来看，ax■+bx+c与y=ax■+bx+c当x取全体实数时有无数个值，而ax■+bx+c=0在x取特定值时只有一个零值，在b■-4ac≥0时，ax■+bx+c=0的值是y=ax■+bx+c或ax■+bx+c众多的函数值中的一个值，当然，当b■-4ac<0时，ax■+bx+c与y=ax■+bx+c继续存在，而ax■+bx+c=0就无意义了。

2.理清三者关系的必要性

三种数学式在初三数学中连续出现，既有方程又有代数式，既有函数又有图像，在初中学生思维发展上有必然性，但三种数学形式相似及概念的繁杂，给初学者的理解及实际操作上带来了困惑，而这三种数学形式又是初中代数的重点内容，因此及时对学生进行三种关系的渗透，既是完成数学任务不可缺少的一环，又是学生思维能力培养的客观要求。

3.三者关系对思维能力的培养

（1）对抽象概念能力的影响。要理解三种数学形式的关系，首先必须了解三种数学形式的概念，这三种概念都是从具体的内容中抽象出来的，而初中生是能够在概念及案件里一般性的联系和从属关系。在学习三种数学形式时，既要在一定程度上依靠三种数学形式的具体事例，又要注意引导学生的思维逐渐摆脱哪些具体的例子，这样对于培养学生的抽象思维是大有好处的。（2）对思维理解能力的影响。ax■+bx+c=0、ax■+bx+c、y=ax■+bx+c是初中数学的重要内容，尤其是ax■+bx+c=0贯穿了初中数学的始终，它的出现打破了初三以前一个方程只有一个根的思维定势，其解让我们看到了事物的多样性和相似性，同时也让我们看到决定一个方程根的真正因素是方程自身，是内因。很大程度上一元二次方程是为ax■+bx+c及y=ax■+bx+c的出现做铺垫的。

总之，从初中生的思维发展规律来看，理清三种数学形式间的关系，是必要的，也是重要的。初中时期是学生思维发展的关键期，我们应及时有效地了解和把握这一时期，为学生的发展打下坚实的基础。