概率高考重点题型及解题策略

概率高考重点题型及解题策略

◇山东刘贺

随着高考改革的不断推进,对概率部分考查由以前的单一知识点命题向着综合性开放性发展,由纯知识性向着实践性应用型改进.命题不仅仅是考查书本知识,更重要的是运用课本知识解决现实生活中的问题.在知识的交会点命题是近几年高考命题的一大热点,命题的考查内容主要有古典概型、几何概型的概率,互斥事件、对立事件、相互独立事件及独立重复试验的概率,还有一些超几何分布的特殊概率等．现就将概率高考的重点题型及解题策略总结如下,供备考同学们参考使用．

1古典概型的概率

例1(2015年北京)A、B2组各有7位病人,他们服用某种药物后康复时间(单位:d)记录如下:

A组: 10,11,12,13,14,15,16．

B组: 12,13,15,16,17,14,a．

假设所有病人的康复时间互相独立,从A、B2组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.

(1) 求甲的康复时间不少于14 d的概率;

(2) 如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

(3) 当a为何值时,A、B2组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)．

(1) 甲有7种取法,康复时间不少于14 d的有3种取法,所以概率P=3/7;

(3) 把B组数据调整为a、12、13、14、15、16、17或12、13、14、15、16、17、a,可见当a=11或a=18时,与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明,本题不需要.)

2几何概型的概率

例2(2015年福建卷) 如图1,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________.

图1

解几何概型问题,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见题型的求解方法.当实验结果由等可能的无限多个事件组成时,利用古典概型求概率显然是不可能的,可以将所求概率转化为长度的比值(1个变量)、面积的比值(2个变量)、体积的比值(3个变量或根据实际意义)来求,这是解决几何概型有关概率问题的关键所在．

3独立事件、互斥事件的概率

例3(2015年四川卷) 某市A、B2所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,2校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.

(1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

(2) 某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X得分布列和数学期望.

(2) 根据题意,X的可能取值为1、2、3.

所以X的分布列为:

X123P1/53/51/5

因此,X的期望为

将随机变量的取值及相应的概率写成分布列形式后，注意pi≥0 (i=1,2,…)；p1+p2+p3+…+pn=1．可用于检验所求分布列是否正确．数学期望E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn. 所谓X的数学期望就是X所有取值的平均数.如果X的不同值出现的概率都相等,它就是简单平均数；如果X的不同值出现的概率不全相等,它就是加权平均数.解决应用问题一定要注意弄清题意,找出题中的关键字词.在本题中,就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时,如果直接求比较复杂,就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的2个重要概率分布,本题的概率分布就是一个超几何分布问题.解好此类问题，不仅要学好课本知识，更重要的是运用课本知识解决现实生活中的一些问题．作为备考同学应予以高度重视.

总之,高考涉及的概率问题一般有等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率(包括n次独立重复试验)．高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合,但始终离不开各种概率的一般解决求法．可见概率在高考中的考查由课本走向了社会,由单一知识向纵深、知识交会发展,尤其是概率与统计交会、概率与线性规划、概率与现实生活中的一些问题是近几年高考命题的热点,这种由简单思维向复杂转化,用课本知识解决现实问题是高考改革的方向,这种能力的转化作为备考同学是应该具备的．

(作者单位：山东省青岛经济技术开发区致远中学)