几何概型的考查视角
◇山东刘淑霞
1) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
2) 每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型与古典概型的区别:要判断是古典概型还是几何概型,关键是分清这2种概型的异同点.
不同点:古典概型要求基本事件有限,几何概型要求基本事件无限.
相同点:古典概型和几何概型的每个基本事件出现的可能性相等.
下面对几何概型问题在高考中的考查视角举例分析.
1定积分视角
图1
例1(2014年辽宁卷) 如图1所示,正方形的4个顶点A(-1,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,若将1个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.
因为A(-1,-1)、B(1,-1)、C(1,1)、D(-1,1),所以正方体ABCD的面积S=2×2=4.根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积
定积分的几何意义是求曲边梯形的面积,因此将其与几何概型交会考查便顺理成章了.
2函数视角
图2
A1/6;B1/4;C3/8;D1/2
由已知得B(1,0)、C(1,2)、D(-2,2)、F(0,1),则矩形ABCD面积为3×2=6,阴影部分面积为1/2×3×1=3/2,故该点取自阴影部分的概率等于(3/2)/6=1/4.故选项为B.
本题是以函数为背景、面积为度量的几何概型问题,重点考查了转化思想和数形结合等思想.
3线性规划视角
例3(2015年湖北) 在区间[0,1]上随机取2个数x、y,记p1为事件“x+y≥1/2”的概率,p2为事件“|x-y|≤1/2”的概率,p3为事件“xy≤1/2”的概率,则().
Ap1 Cp3 因为x、y∈[0,1],对事件“x+y≥1/2”,如图3阴影部分S1.对事件“|x-y|≤1/2”,如图4阴影部分S2.对为事件“xy≤1/2”,如图5阴影部分S3. 图3 图4 图5 由图易知,阴影部分的面积从小到大依次是S2 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法. 4平面几何视角 例4(2013年湖南) 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为1/2,则AD/AB=(). 图6 本题主要考查几何概型与三角形的最大边的性质,结合数形结合思想和转化思想,意在考查考生的转化能力和运算能力. 5不等式视角 例5(2013年山东) 在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为________. 当x≤-1时,不等式|x+1|-|x-2|≥1,即-(x+1)+(x-2)=-3≥1,此时无解. 当-1 当x>2时,不等式|x+1|-|x-2|≥1,即x+1-x+2=3≥1,解得x>2. 线段长度比是几何概型的常考题型,本题将长度与不等式所表示的区间建立联系,考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识,考查分类与整合思想及运算求解能力. 综上,高考中几何概型的考查主要以选择题或填空题的形式呈现,多为单独考查,有时会与线性规划、定积分等知识综合考查,难度较低.几何概型问题求解的关键是对试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. (作者单位:山东省栖霞市第一中学)