住宅间距与日照关系的初步数学分析

魏珈

（北京市第171中学，中国 北京100013）

住宅间距与日照关系的初步数学分析

魏珈

（北京市第171中学，中国 北京100013）

从日照的角度对住宅间距进行了初步数学分析。对影长的计算方法进行了整理，选取计算条件研究了一日不同时刻、正午时刻不同节气与影长的关系；建立了住宅间距的物理模型和数学模型，并对典型城市的日照间距系数与纬度的关系，不同住宅高度与日照系数的关系进行了研究；最后给出了典型城市的日照间距系数取值范围。结果表明：一日内太阳高度角和影子的长度随时间不同而不同，太阳高度角在正午时刻最大，影子的长度在正午的时刻最短。正午时刻一年内不同节气的太阳高度角和影子的长度是不一样的，太阳高度角在夏至时最大，冬至时最小；影子的长度在夏至时最短，冬至时最长。纬度不同，日照间距系数也不同，纬度越大日照间距系数越大，即所需的间距越大。楼层越高日照间距系数越大，即所需的间距越大。

住宅；日照；住宅间距；日照间距；太阳高度角

0 引言

随着我国城市化进程不断加快，城市高楼尤其是高层住宅日益密集，住宅楼间距对住宅采光的影响越来越大。住宅楼间距大小一方面与城市经济发展水平有关，但更重要的是与所处的自然条件有关，尤其是与日照的关系尤为密切。基于此，本文通过查阅相关文献资料[1-3]，结合所学知识，对住宅间距与日照的关系进行了初步数学分析。

1 影长的计算方法

地球除自西向东自转外，还绕着太阳公转。一年之中，太阳离人们的距离和高度是变化的，甚至一天之中也是不同的。因此，在一年四季中，太阳距观测地点的位置是变化的（主要以太阳高度角来表示）。而太阳高度角的变化又是由物体所在的当地地理位置（纬度）和赤纬角所决定的。

太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角。

太阳高度角的计算公式[1]如下：

式中：H为太阳高度角，°；B为地理纬度；为赤纬角，°；Ω为时角（Ω=15°t，t=n-12，n为时间数）。

赤纬角又称太阳赤纬，是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。赤纬角的计算公式如下：

式中：n为日数，自1月1日开始计算。

因此，假设物体是一竹竿，其影子的长度，在一年之中、一天之中也是变化的，其影长的大小主要与物体高度和太阳高度角有关。影长与太阳高度角关系示意如图1所示。

从图1可以看出，影长的计算公式如下：

式中：l为影长，m；h为物体高度，m；H为太阳高度角，°。

2 最长影长日的比较分析

2.1 一日不同时刻影长的比较分析

从式（1）可以看出，太阳高度角与某地的地理纬度、赤纬角和时角有关，本节将研究某日不同时刻影长的大小。

本节研究选取的计算条件如下：

物体垂直高度：10m

物体所在地纬度：39°54′（北京）

赤纬角：0°

将上述计算条件代入式（1）和式（3），即可计算出当赤纬角为0°时，一日内不同时刻的太阳高度角和影子的长度。见表1。

从表1可以看出，一日内太阳高度角和影子的长度随时间不同而不同，太阳高度角在正午时刻最大，影子的长度在正午的时刻最短。

2.2 正午时刻不同节气影长的比较分析

2.1 节中，为方便计算，选取的赤纬角为0°，但实际上，从式（2）可以看出，赤纬角是随时间而变的。为研究一年中不同时间太阳高度角和影子的长度，本文选取了一年中主要的节气，通过公式（1）、（2）和（3）来计算。假定研究选取的计算条件除赤纬角外，其他均不变，选取正午时刻，计算可得不同节气的太阳高度角和影长。见表2。

表2 不同节气的太阳高度角和影长

从表2可以看出，正午时刻一年内不同节气的太阳高度角和影子的长度是不一样的，太阳高度角在夏至时最大，冬至时最小；影子的长度在夏至时最短，冬至时最长。

3 住宅间距的模型建立

3.1 太阳照射时刻的选取

通过2.1节的分析可以看出，一日内影子的长度随时间不同而不同，俯视看不同时刻太阳位置与影长的示意关系如图2所示。

从图2可以看出，虽然在正午时（12时）影长最短，但由于我国住宅多为正南正北布置，北面布置的住宅其被南面的住宅遮挡阳光的时间在正午最大。因此，本文的研究选取正午为计算依据，研究照射时刻为正午时，正南正北房屋受日照遮挡的影响，以此作为住宅间距的依据。

3.2 物理模型的建立

为更好地研究住宅间距与太阳日照的关系，建立住宅间距计算的物理模型，如图3所示。

图中：h为北面住宅的高度，m；H为太阳高度角，°；h1为北面住宅的最底层窗下沿距地面高度，m；l为北面住宅与南面住宅的间距，m。3.3 计算模型的建立

在进行住宅间距的计算时，选取的计算条件如下：

1）太阳照射时刻：正午（12时）；

2）窗台高度：选取h1为1m；

3）住宅间距计算依据：以冬至（冬至这一天太阳高度角最小，影长最长）这一天南向房屋底层房间窗台以上墙面，能被太阳照到。

根据上述计算条件，从图3可以得出如下计算公式，见式（4）。

式中：H为太阳高度角，°；h为北面住宅的高度，m；h1为北面南向住宅的最底层窗下沿距地面高度，m；l为住宅间距，m。

将式（4）转换一下，可得式（5）。

为更好地表示前排楼高h与住宅间距l的关系，可将式（5）转换为式（6）。

4 典型城市的住宅间距比较研究

我国位于北半球，而且幅员辽阔，南北所跨近 50个纬度，因此同一高度的住宅，其在相同时刻的影长也是不一样的。本文选取不同我国纬度的典型城市，研究在不同纬度下，日照间距系数的大小。

按照第3节所确定的住宅间距模型，假定南面住宅的高度为10m，根据式（1）-（5），可计算出我国不同纬度的城市的日照间距系数，见表3。

表3 典型城市的日照间距系数

从表3可以看出，纬度不同，日照间距系数也不同，纬度越大日照间距系数越大，即所需的间距越大。

表4 不同高度住宅下的日照间距系数

从表4可以看出，楼层越高日照间距系数越大，即所需的间距越大。

将表4中的数据进行整理，可得出我国不同城市日照间距系数的取值范围，见表5。

Preliminary Mathematical Analysis of the Relationship Between the Residential Interval and Sunlight

WEI Jia
（Beijing NO.171 Middle School，Beijing 100013,China）

The residential interval was discussed with preliminary mathematical analysis of sunlight.Calculation methods of shadow length were summarized and calculation parameters were selected to determine the influence of different times of one day and different solar terms at noon to the length of shadow.The physical model and mathematical model were established to study the relation between coefficient of sunshine spacing and latitude,and the relation between various residential height and sunshine coefficient in a typical city.Value range of sunshine distance was then provided.The result demonstrated that the solar elevation angle and the length of shadow vary with times of one day as well as solar terms at noon. The solar elevation angle reaches maximum at noon time while the length of shadow reaches the minimum.Also,the solar elevation angle reaches the maximum at the summer solstice and minimum at winter solstice,while the opposite applies to the length of shadow.The coefficient of sunshine distance increases with the increasing latitude as well as the height of building,resulting in the increase of spacing.

Residence；Sunshine；Residential interval；Sunshine distance；Solar elevation angle

魏珈（2000—），女，北京人，学生，就读于北京市第171中学。