数值模拟两层有限大小地层中多电极电流场分布

曹婷

摘要：文章根据叠加法原理，采用COMSOL多物理场有限元数值计算软件建立有限大小的两层导电媒质模型，并对多电极同时存在时电流的分布进行了仿真计算，并将之与解析解进行了比较，验证了用有限大小的模型来模拟无限大地层的合理性。

关键词：叠加法原理；COMSOL软件；多电极；数值计算

在两层无限大导电媒质中，当电流源位于两种导电媒质分界面附近时，会在两层媒质中分别感应出电流，进而对地层电阻率的计算产生影响。本文通过叠加法原理在两层有限大小的模型中模拟了多个电极同时存在时电流的分布情况，验证了有限模型的准确性与合理性。

1 两层导电媒质模型

图1为两层有限大小的导电媒质模型，上表面中心处放置发射电极T，上下两层媒质左侧表面中心处分别放置回路电极A，B，电极材料均为铜，上下两层导电媒质的电导率分别为σ₁，σ₂。本文利用用有限元软件求解在有限大小的导电媒质中回路电极A，B处的电流，验证了在有限元软件中用有限大小的模型来数值模拟无限大模型的可行性与准确性，为进一步的研究奠定了基础。

2 叠加法原理

在本文所述的模型中，发射电极T发出的电流，是给定的常数，回路电极A，B处电流I_A，I_B是待定的，会随地层电阻率分布的变化而变化，因此在用数值解求解时，要使其与解析解所满足的条件一致，应采用叠加法原理来建立模型，分析数据。下面给出叠加法的求解过程。

所谓叠加法是指，对于具有唯一解的线性电路，多个激励源共同作用时引起的响应等于各个激励源单独作用时所引起的响应之和。在本文所述模型中，发射电极T发出的电流，全部由回路电极A，B所吸收，且在不同地层电阻率分布情况下的解唯一。对此我们可设回路电极A，B为可以发射出与发射电极T极性相反的电流I_A，I_B的电流源，且满足I_A+I_B+I=Q。

设由发射电极和两个回路电极发射电流所形成的电场称为总场，相应的电位记为U，由发射电极和两个回路电极分别发射电流所形成的电场称为分场，当发射电极T单独作用时，I=0，I_A=1，I_B=0；当回路电极A单独作用时，I=0，I_A=1，I_B=0；当回路电极B单独作用时，I=0，I_A=0，I_B=1。相应的电位分别记为U_T，U_A，U_B，则总场在任意点处的电位可以视为各分场在同一点处电位的线性组合，即

U=c₀U_T+c₁U_A+c₂U_B （1）

其中：I=c₀，I_A=c₁，I_B=c₂。则有U=IU_T+I_AU_A+I_BU_B。

这样，P、Q处的电位分别为：

3 网格剖分及计算

为验证上述结果的正确性，本文采用COMSOL多物理场有限元数值计算软件建立有限大小的两层导电媒质模型，并进行仿真计算。对于本模型的特殊性，在网格剖分部分将采用长方体网格为基本网格单元的剖分方式，剖分结果如图2所示，在电极处和边界处的电流密度远大于其他部分，场变化剧烈，因此电极部分需要网格较密，然后到其他部分剖分逐渐稀疏，以减少不必要的网格并提高计算速度。

采用上述原理中分场叠加的方法，先分3次对电极T，A，B分别加电流源，选择适合恒定电流场的求解器求解，然后提取数据，并根据分场叠加后所得的I_A，I_B公式求出两回路电极处的电流，绘制出回路电极A，B处的电流大小I_A，I_B随上层与下层地层的电导率对比度的变化图，如图3所示。

图2中的结果与文献中两层无限大导电媒质中多电极电流场分布的解析解结果一致，说明了在两层导电煤质中若存在多个电极时可采用叠加法原理来分析电流分布，同时验证了有限模型来模拟无限大导电媒质中电流场的分布的准确性。