北京轨道交通系统结构与整体连通性分析

文_陈锴（北京理工大学 机械与车辆学院，北京 100081）

北京轨道交通系统结构与整体连通性分析

文_陈锴（北京理工大学 机械与车辆学院，北京 100081）

为定量分析轨道交通系统整体连通性受单个站点的影响提出方法。在Space-L拓扑结构中，从全局网络效率计算入手，比较单一节点失效后全局网络效率与原始全局网络效率的变化情况，从而对各站点对整个系统连通性的影响进行评价。在分析比较各站点复杂网络参数及相对位置后，得出结论：单个站点对整个系统连通性的影响主要与其在网络中的相对位置有关；位于末端支路与环状结构交汇处的站点对连通性影响最大，这些站点一旦失效，将可能导致整条线路崩溃。

交通规划；轨道交通系统；复杂网络；连通性；整体网络效率

轨道交通线网的结构与性能一直是国内外研究的热点。李海峰等将轨道交通的网络分为放射形轨道交通网络、“环+放射形”轨道交通网络、方格形轨道交通网络和遍布整个城市的轨道交通网络等【1】。沈景炎提出，尽管每座城市线网的构架各有特点，但总体上可以归纳为由放射形线网、设置环线的线网和棋盘式等基本功能单元组合而成【2】。

但现有的研究往往集中在城市中心区域的网络结构，忽略了轨道交通线网末端对整体网络连通性的影响。如图1，北京市的轨道交通线网可以视为较为典型的“环+放射形”轨道交通网络。截止至2016年5月，北京市轨道交通系统共有站点277座，其中位于四环外的站点共142座，占总数的51.3%；其中位于环状结构外的末端支路站点111座，占总数的40.1%。

这些末端支路站点的存在使得轨道交通线网的功能更加完善，与此同时，由于居住与就业不匹配导致的早晚高峰大规模通勤使得部分线路负荷度过高，最高甚至达到144%。以地铁5号线天通苑南站、天通苑站和天通苑北站为例。这些站点所在区域土地开发性质较为单一，以住宅为主，缺乏就业机会。因此在早晚高峰，形成了巨大的通勤交通，并呈现出明显的潮汐交通流向【3】。因此早晚高峰这些站点内普遍存在拥挤和旅客滞留的情况。当拥挤和滞留达到一定程度时，节点功能失效，从而会对整个网络的连通性产生负面影响。

本文通过搭建北京市轨道交通网络模型，利用全局网络效率分析了地铁网络末端结构对整体连通性的影响。

轨道交通系统与复杂网络

复杂网络及研究途径

复杂网络是具有众多节点以及特定功能的特殊网络结构，它拥有一定的几何性质以及相应的统计规律。因此，统计物理和图论都是研究这种共性的有效工具。

从图论角度来讲，网络是指由一个点集和一个边集组成的相互关联的图【6】，且中的每条边都有的一对点与之对应。如果任意与对应同一条边，则称为无向网络，否则为有向网络；如果任意，则称为无权网络，否则为加权网络。

从统计物理学的角度来看，复杂网络可以视作一个包含大量相互作用个体的复杂系统。它将个体抽象为节点，将个体间的相互作用抽象为边，通过研究网路的物理参数进而了解系统结构和运动方式。

轨道交通网络的构建

基于北京市轨道交通系统的物理连接，以276个站点为节点（其中机场2号航站楼站、机场3号航站楼站视为一个站点），各站点间实际直接连通的地铁线路为边，采用Space-L法构建复杂网络。构建结果如图2。根据图示，可以较为清晰地将站点划分为环状结构内部站点和环状结构外的末端支路站点。

在构建过程中，遵循以下原则：

1. 任意直接连通节点可互为出发地和目的地，将整个网络抽象为无向网络；

2. 不考虑城市轨道交通中的各条线路的全天运用车组数、发车时间以及各线路发车间隔差异等因素，即不考虑网络中连接权重问题，将整个网络抽象为无权网络；

3. 不考虑站间距差异，任意相邻两站间距视为相等；

4. 换乘站不重复计数。为方便相关参数计算，本文同时构建了邻接矩阵表示该网络结构。其中（1）

复杂网络的基本统计特征

目前在文献中出现的几何量有：度分布、最短路径、相关系数、聚类系数、边密度、介数、平均度等等。它们分别描述复杂网络不同方面的结构特点，可以比较全面的描述复杂网络的内在特征。其中较为基本的统计特征有：度(degree distribution)、平均路径长度(average pathlength)。

度与度分布

节点度是衡量节点在复杂网络中重要性的指标，节点的度值表示与相邻的节点数目。一般情况下，节点度值越高，该节点在网络中的重要性越高。网络上所有节点的平均值称为网络平均度，记为。

图2 北京轨道交通系统拓扑图

网络中节点度的分布情况可以用分布函数进行表示。

根据定义统计得到北京市轨道交通系统276个站点的度值，平均度值为2.29。部分节点度值如表1：

表1 部分节点度值

整个网络度分布结果如图3：

图3 网络度分布

根据以上统计结果，我们可以看出，度值为2的节点占绝大多数。这是由于城市轨道交通线路的特殊性决定的，城市轨道交通网络的延伸都是以线的形式增加的，除了始发站外，其他车站节点都是以度值2的形式增加的【7】。根据文献[8]，目前与2010年相比，平均度值有较大程度的提高，这意味着北京市轨道交通系统网络的环状结构内的网络密集度在逐渐增大，这与北京市轨道交通系统的实际情况基本相符。

平均路径长度

平均路径长度即网络中任意两点间最短距离的平均值，即：（2）

其中，表示网络中节点个数，表示任意两节点、间的距离。利用pajek软件计算得北京市轨道交通系统平均最短路径为14.39，较2010年有所下降。这体现了随着网络内部的不断优化，换乘更加便捷。

网络连通性评价

评价参数的选择

在大多数文献中，一般选用平均路径长度作为评价网络连通性的指标。其评价方法为网络平均路径越短，网络连通性越好，反之则连通性越差。但针对轨道交通系统网络，这种评价方法存在一定的问题。由于轨道交通网络中往往存在较大比例的度值为1或2的节点，当部分节点被破坏，网络中出现孤立点时，只能计算网络中最大连通子图平均路径长度。此时平均最短路径减小，这与连通性降低的事实相悖。

因此，这里我们引入网络效率这一参数对网络连通性进行评价。在无权网络中，我们定义两个节点之间的距离的倒数为两个节点间的效率，即：（3）

当两节点间不连通时，两节点间路径长度趋近于正无穷，则两节点间效率为（4）

针对整个网络，我们定义整个网络中任意两个节点间效率的平均值为全局网络效率(Global Efficiency)即：（5）

类似的，针对局部网络，我们定义局部网络效率（Local Efficiency）为（6）

其中是节点的临近组成的网络。

此处引用Crucitti P.文中的图例【4】，试比较两种评价指标在网络存在孤立点的情况下参数的不同，如下图4所示：

图4 Crucitti P.文中的图例Fig.4 The legend of Crucitti P.

上两图中G1、G2，节点数目完全相同，仅边数存在差异，G2中有孤立点，因而只能计算G2最大连通子图的平均最短路径长度。利用公式（2）计算，得到L1=1.3， L2=1。根据计算结果，G2连通性优于G1的结论与实际情况不符。利用公式（5）计算得，。所得结论与事实相符合。

因此利用网络效率能够更准确的反映城市轨道交通网络连通可靠性。网络全局效率反映了整个网络的连通性强弱，网络全局效率与网络的连通可靠性呈正相关；当网络中部分节点失效后，全局网络效率降低。

网络效率计算

本文为分析轨道交通网络末端结构对网络整体连通性的影响，逐一模拟了针对单一站点的攻击，比较单一节点受到攻击后，整体网络效率的变化情况。主要工作通过MATLAB完成，核心代码如下：

A=sparse(A);

ShortPath=graphallshortestpaths(A);

E=1./ShortPath;

E(E==inf)=0;

Eglob=(1/(length(A)*(length(A)-1)))*sum(sum(E))

图5 全局网络效率的分布

表2 西直门万寿路两站点的比较

其中表示网络邻接矩阵及其稀疏矩阵，表示基于算法求得的全部平均最短路径矩阵，表示全局网络效率。

依照以上算法计算得正常状态下北京市轨道交通系统全局网络效率为0.1029，并逐一计算276个节点分别失效状态下，全局网络效率变化情况。计算依照各节点度值分类整理，如图5：

显然，虽然节点度值是表征网络中节点重要性的主要参数，但单一节点对整体网络效率的影响大小主要与节点的相对位置有关。例如，在整个网络中，西直门节点度值最高，但它的失效对于整体网络效率的影响却小于节点度值为2的万寿路站。这里我们用任意节点失效对应的整体网络效率与初始网络效率的差值所占百分比表示对整体网络连通性的影响程度。见（表2）

在前文我们提到，北京市轨道交通系统网络是典型的“环+放射形”结构。如图6，从网络整体来看，将末端支路上的节点和环状结构内节点分别用不同颜色标记，并比较其对整体网络效率的影响。可以较为明显地看到，环状结构内部节点对整体网络效率影响较为平均且相对较小；末端支路上的节点对整体网络效率的影响则波动较大，其中部分节点对整体网络效率影响非常明显。（图6）

在同一线路中，单一节点对网络的连通性的影响呈波浪形浮动。以地铁一号线及八通线为例，各点对整体网络效率的影响如图7：

如图所示，该线路对整体网络效率的影响最大的两点分别为公主坟和大望路站。分析比较节点在整个网络的位置不难发现，两点均处于环状结构与放射线结构交汇位置。同时发现：在末端支路结构中，越靠近环状结构的节点对整体网络影响越大。这是由于环状结构内部节点间相互联系较为紧密，单一节点失效后，其他节点间最短路径不会出现很大变化。结合实际情况体现在，环状结构中任意站点由于各种原因崩溃，乘客均可以较为容易找到替代路线，利用轨道交通系统完成出行。相反，末端支路上节点失效将导致孤立节点的出现，孤立节点越多对整体网络连通性影响越大。结合实际情况，即末端结构上的站点一旦崩溃，则可能导致靠外的线路全部瘫痪。

图6 网络上单个节点失效对网络连通性的影响

图7 单一线路上单个节点失效对网络连通性的影响

结语

（1）本文基于复杂网络理论和北京市轨道交通系统实际情况，引入整体网络连通效率这一参数更加准确地评价网络连通性；通过比较单个站点失效状态下与原始网络连通效率的变化情况，分析单一站点对网络连通性的影响大小。

（2）通过比较节点度值和节点位置对全局网络效率的影响，得出以下结论：站点对网络连通性的影响主要与站点的相对位置有关；通过对不同位置站点的比较发现，靠近环状结构的末端支路站点对网络连通性影响最大。

（3）针对这一结构性问题，相应的应急预案及可替代的公共交通方式是必要的。

（4）下一步需要研究的问题包括：结合实际客流人数和站点距离建立有权网络，讨论其对网络连通性的影响；结合节点崩溃的传播及恢复过程，研究轨道交通系统中结构对网络连通性的影响。

[1] 李海峰，王炜．轨道交通网络形态研究[J]．规划师，2006，22(5)：85-88．

[2] 沈景炎．城市轨道交通线网规划的结构形态基本线形和交点计算[J]．城市轨道交通研究，2008，11(6)：5-10．

[3] 张朝峰,张秀媛. 地铁末端周边区域通勤客流分布和出行方式选择[J]. 都市快轨交通,2009,(04)：26-29.

[4] Crucitti P, Latora V, Marchiori M, et al. Error and attack tolerance of complex networks[J]. Nature, 2000, 406(6794)：542-542.

[5] Holme P, Kim B J, Yoon C N, et al. Attack vulnerability of complex networks.[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics, 2002, 65(5)：634-634.

[6] 吴金闪,狄增如. 从统计物理学看复杂网络研究[J]. 物理学进展,2004,(01)：18-46.

[7] 王云琴. 基于复杂网络理论的城市轨道交通网络连通可靠性研究[D]. 北京交通大学, 2008.

[8] 罗金龙, 曹成铉, 许琰,等. 北京、上海和广州地铁网络演化分析[J]. 山东科学, 2013, 26(1)：74-80.