PID控制器采用双线性变换法离散存在的问题分析

赵冬玉　王利伟　赵伟东

【摘 要】本文给出了PID控制器传递函数的参数及被控对象的函数，然后采用双线性变换法设计数字PID控制器，并针对被控对象分析双线性变换法离散化后的控制效果，发现双线性变换设计法不适宜于数字PID控制器的设计。最后分析了PID控制器不能采用双线性变换法离散的原因。

【关键词】PID控制器；双线性变换法；微分环节

0 引言

PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依据经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象﹐或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。

随着数字化的发展，对PID控制器的各种离散方法的层出不穷，各种离散方法都有本身的优点和局限性，本文就其采用双线性变换法离散存在的问题进行分析，从而得出PID控制器不能采用双线性变换法离散的原因所在。

1 PID控制器及双线性变换法

该系统是一个I型系统，所以当输入为阶跃信号时，系统的稳态误差为0。由于PID 控制器中的积分环节I为系统提供一个位于原点的开环极点，提高系统型别保证系统稳定性。系统的动态性能良好，超调量σ%=0，调节时间ts=3.4s，上升时间tr=2.9s。

可见采用双线性变换后，系统在很长时间内输出量很小，系统输出经一段时间后上下扰动加剧，并随着时间的延长，这种扰动的幅值不断扩大，严重破坏系统的性能，最后使系统崩溃。

3 PID控制器采用双线性变换法离散存在的问题分析

PID控制器实际上是由比例环节P，积分环节I，微分环节D叠加构成。那么究竟是其中哪一个环节使得输出产生如此剧烈的振荡，显然，比例环节不可能使系统随时间发散，它只会改变系统增益。因此，分别只采用单个积分或微分环节进行离散化后观察系统性能，以此找出产生振荡的原因。

当只采用积分环节时，D（s）=，D（z）=，G（z）=。系统的单位阶跃响应曲线如图4所示：

从图4及5可以看出，当只采用积分环节时系统的稳态误差为0，超调量σ%=31，调节时间ts=11.6s，上升时间tr=1.3s。积分环节只改变了系统的动态性能，使系统动态性能变差，但没有改变系统的稳态性能。而微分环节的控制器却使整个闭环系统的稳态性能，动态性能变得极差。系统的输出经过一段时间后扰动幅值不断加剧，最终会使整个系统完全崩溃。

即σ2+ω2<1。这相应于Z平面单位圆内部。因此，双线性变换将S平面上整个左半平面映射到Z平面上以原点为圆心的单位圆内部（这是Z平面上的稳定区）。同理可知双线性变换将S右半平面映射到单位圆外，将S平面上的虚轴映射到单位圆上（映射关系如图6所示）[2-3] 。由于微分环节经双线性变换离散后，有一个z=-1的极点和一个z=1零点。z=-1的极点对应S平面上虚轴无穷远处，z=1的零点对应S平面上原点。z=-1的极点使系统的单位阶跃响应为等幅振荡曲线，同时z=1零点使系统的单位阶跃响应的超调量增大。所以，只采用微分环节，系统的单位阶跃响应在很长时间内输出量很小，但系统输出经一段时间后上下扰动加剧，并随着时间的延长，这种扰动的幅值不断扩大。

4 结论

因此，从上面仿真及原理性分析可知，采用双线性变换法离散设计的数字PID控制器中真正使系统不稳定的根源在于微分环节。所以，可以得出一般性的结论，即含微分环节的控制器不能采用双线性法离散。

【参考文献】

[1]高金源.计算机控制系统——原理、设计与实现[M].北京：北京航天航空大学出版社，2001.

[2]席爱民.计算机控制系统[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]洪乃刚.电力电子和电力拖动控制系统的MATLAB仿真[M].北京：机械工业出版社，2006.

[责任编辑：杨玉洁]