从简单做起 例谈“截距式”推导中的类比法

左学武 毛自森 丁健

摘要：本文从二维平面的截距式直线方程的证明思想，联想到三维空间中平面的截距式方程，从两种不同的角度揭示了截距式公式形成的缘由，深化对截距式几何意义的理解。同时，呈现出从低维空间概念向高维空间拓展的“类比联想”式数学学习方法。

关键词：截距式;相似性;等积法

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）07-0169-02

一、引言

伴随着“互联网+”时代的到来，对于教育教学课题的研究出现了多元化的思考，这其中很多学者开始关注新的网络平台，如MOOC，SPOC等资源平台的建设和发展应用问题，的确这是一个全新的挑战，然而，受到新模式的冲击，传统教学，特别是基础学科中最重要的思维能力培养出现了一定的弱化，如数理学科体现更多的就是对于创新思维能力根基的培养，这需要我们不能只注重于形式的多样，更要夯实能力的基石，近年来，我们一直关注于如何“还原”数学发现的过程，这是一种思维能力的训练和养成，我们开始关注如何在特殊中需找一般的规律，如何将规律进行科学的总结和归纳，进而升华为成熟的理论或拓展应用，我们坚信这些能力的培养必须融入到课程教学之中。

截距式方程[1]是我们在中学经常运用的解析几何方法，但是当时大多数同学并不知道它的推导过程，尤其是“1”的意义，更是同学们疑惑的地方。一直以来，“从简单做起”[2]的数学思想贯穿着整个数学发展的脉络，本文首先分析了二维平面的截距式直线方程，并由此联想到三维空间中截距式平面方程。希望通过“简化问题”的数学思想帮助大家认识问题的本质，同时利用“类比联想”的数学方法升华问题的表征。

透过不同的解题视角，揭示不同的思维模式，启发大家在解题过程中要注重多角度思考问题、结合发散思维拓宽视野。

二、从相似性的视角探究截距式

数学问题的解决应该遵循从简单做起的原则，所以不妨先从二维平面直角坐标系入手。

如图（1）所示，D点和E点为C点在坐标轴上的投影，显然有△BDC∶△BOA，即 = ，

其中DC=x，BD=b-y，OA=a且OB=b，

代入得， =

化簡可知， + =1，

得证。

拓展到三维空间坐标系中，截距式将不再表示一条直线，而是一个平面。如下页图（2）由△EFD∶△EOC得

= = = =1- ，

同理得 = ， =

且与二维平面中结论所得 + =1，

两式联立解得 + = ，

代入上式消去

+ + =1。

三、以等积法的观点推导截距式

截距式的数学表达形式 + =1类似于 + =1，很容易令人联想到等积法。对等积法，尤其式中“1”的理解，对于数学思维有极大的启发作用。

如图（3）所示：

S =S +S 且S = ab，S = bx，

S = ay，

联立有 ab= ay+ bx，

化简得 + =1。

同理类比到三维空间里，如图（4）有

V =V +V +V 且V = abc，

V = abz，V = acy，V = bcx，

联立得abc=abz+acy+bcx，

化简得 + + =1。

四、小结

由二维到三维，由简单到复杂，本文从两种不同的角度揭示出截距式公式形成的缘由，深化同学们对截距式几何意义的理解。同时，本文在两个角度的逐层递进中，呈现出一种从低维空间概念向高维空间概念拓展的“类比联想”式数学学习方法。

本文在截距式推导过程中体现出的“简化问题”和“类比”思想，对大学生的思维方式转变和有效学习具有启迪性的作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].第六版.北京：高等教育出版，2007.

[2]王在华，姚泽清.理解与发现：数学学习方法漫谈[M].北京：科学出版社，2011.