“月上柳梢头”的时间预测模型与求解

彭亚发

（浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院，浙江 东阳 322100）

“月上柳梢头”的时间预测模型与求解

彭亚发

（浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院，浙江 东阳 322100）

定义“月上柳梢头”为月亮对观察者的仰角大于10°，“黄昏”时刻为太阳的边缘与地平线相切的时刻，“黄昏后”3 h为可“约”时间。建立“月上柳梢头”时间预测模型，求解得到太阳位置与月亮对观察者的仰角随时间变化的关系；借助已有的天文资料，采用计算机仿真求解“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。仿真结果表明，该模型能准确预测发生时间。

数学模型；计算机仿真；天文学；高度角

0 引 言

“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋诗人欧阳修描述的佳人相约情景，“月上柳梢头”自古以来也是一种奇特的天文景观。地球、月球和太阳的运动系统纷繁复杂，因而要预知某个城市发生这种天文现象的准确时间非常困难。针对“月上柳梢头”的时间预测，国内学者开展了诸多研究。如薛毅就“月上柳梢头”的天文现象提出三种模型：模型1假定黄赤交角和黄白交角均为0°，模型2假定黄白交角为0°，模型3假定天体作圆周运动，最终利用三种模型假设对比计算求解的方法进行预测[1]；李波等利用Mathematica软件编程计算结果建立数学模型，Mathematica强大的日期函数处理功能，使输出结果可读性较强[2]。本文借助数据挖掘技术建立数学模型，通过数学模型求解得到太阳的位置与月亮对观察者的仰角随时间变化的关系，最后利用挖掘的天文资料数据进行计算机仿真实验，以期精确预测“月上柳梢头”发生的时间和地点，实现计算机建模与仿真技术和天文学知识的融合创新。

1 “月上柳梢头”的相关问题

以月亮在空中与观察者构成的角度进行推理，“月上柳梢头”是指观察者与月亮的仰角大于10°时的天文现象，即当月亮相对观察者的高度角（仰角）大于10°时可实现“月上柳梢头”。可见，最终需要推导出月亮与观察者的高度角随时间变化的关系，即求解月亮相对观察者的高度角大于10°的这一特定时刻。同时将傍晚太阳上边缘和地平线相切的时刻定义为日没时刻，即“黄昏后”的时刻。在定义黄昏时刻后，还需要对“约”的时间加以限制，结合日没时刻之后夜幕降临，进入深夜就不适合相“约”的现实，约定自黄昏时刻起后3h为约会时间。接着对任意时刻太阳和月亮位置的计算进行改进，同时加入摄动量和观测地点的海拔，以最终提高模型精度。根据相关天文学资料分析，在农历每月初一新月时，月亮和太阳同时升起，每过一天，月亮升起时间晚52min；到了农历每月十五，月亮在太阳落下时升起，随后同样是每过一天，月亮出来晚52min。因此，为准确预测“月上柳梢头”的发生时间，先将公历时间转换为农历时间，如果农历时间小于农历十五，则直接舍去；对于剩余日期分别计算日没时刻，并判断“月上柳梢头”的时刻是否在日没时刻之后3h以内。通过该方法可充分剔除与“月上柳梢头”不相关的时间段，减少计算量，同时大大提高模型的精度。

2 模型的建立与求解

为精确求解“月上柳梢头”和“人约黄昏后”天文现象出现的具体时间，先定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度，再定义“人约黄昏后”的具体时间。“月上柳梢头”描述的是月亮的位置，“人约黄昏后”描述的是太阳的位置。

2.1 求解月球经度和纬度摄动

设LunarPLon为经度摄动量，LunarPLat为纬度摄动量，则有：

同时距离摄动LunarPDist为：

其中，M为月球的异常度，当时间给定后，该值为常量；DMoon为月球距离太阳的平均角距离；MSun为太阳的异常度，当时间给定后，该值为常量；常量FMoon为月球的升交角矩。

设偏近点的近似估算E为：

E=M+esin(M)(1+ecos(M))

其中e=0.054900。

设a为地球赤道的平均半径，计算在直角坐标系中月球轨道参数为：

利用上述参数得到月球与地球之间的距离r及真近点角v：

至此可求出月球在椭圆坐标系中的坐标为：

其中，N,i,w为月球轨道参数，i为倾斜度，w为近点角。将笛卡尔坐标系转换为球坐标，设eLon,eLat, eDist分别为xeclip,yeclip,zeclip对应的球坐标，考虑摄动时，eLon,eLat,eDist的值被更新为：

将上述球面坐标系再进行转换，即可得到对应月球在笛卡尔坐标系中的位置，仍记为xeclip,yeclip, zeclip。至此，通过充分借助摄动量这一关键元素对月球的位置进行了重新计算[3]。

2.2 考虑观测点海拔的月球位置计算

通过参考天文学相关资料可知，在相同经纬度情况下，在海拔高处进行观测是先看到日出，而后看到日落，即海拔高处昼略长。同理，对月球的观测情形也类似。因此，利用以上天文现象可将观测点的海拔纳入影响月球位置观测的原因之一[4]。

设(eLon,eLat)为观测点的经纬度，Alt为观测点的海拔高度。因此，可用该点的经纬度和海拔高度作为该观测点的球面坐标，设该点球面坐标为(Lon,Lat,Alt+ EarthRadEq)，其中EarthRadEq为地球赤道半径。对应笛卡尔坐标系中的坐标为(xel, yel, zel)，而(Lon,Lat, Alt)对应直角坐标系中的点为(Xsl, ysl, zsl)。

若令Obl=23.439291-1.30042×10-2T-1.6×10-7T2+ 5.04×10-7T3，其中T表示儒略世纪数，记为：以海平面为基准时坐标直接的夹角为：

其中

同理，可得到在特定高度时坐标之间的夹角为：

记。笛卡尔坐标(sol1,sol2,sol3)对应的极坐标为(RA,δ)。由此可得到(Lon,Lat,Alt+EarthRadEq)的位置，月球相对于观测者的高度角和方位角为：

其中HA为时角。

至此，在计算月亮相对于观测点的位置时加入了摄动量及观测点的海拔。对于求解日没时刻所涉及的太阳位置，采用同样的方法也可加入摄动量及观测点的海拔信息。

2.3 求解

根据我国部分城市的经度、纬度及海拔信息（见表1），求解北京市“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。

在农历每月初一新月时，月亮和太阳同时升起；然后每过一天，月亮升起时间晚52min；到了农历每月十五，月亮在太阳落下时升起；然后同样是每过一天，月亮出来晚52min。究其原因是，月亮每月（29.5天）要向东公转360°，平均每天东移58°，而新月时日月在同一直线，每天偏东58°，每天就比太阳晚出来50多m i n。因此，根据月亮与太阳在特定时间的运动规律求解“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间，如图1所示。

表1 我国部分城市的经度、纬度及海拔信息

图1 求解“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间的流程

至此，通过以上求解流程可计算得到北京市2016年“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间（见表2）。

由表2可知，2016年北京市11个月都会出现一次“月上柳梢头，人约黄昏后”的情形，但12月没有符合要求的时间。通过仿真求解发现，黄昏时刻为16：48，而“月上柳梢头”的时刻为20：53，已不在“约会”的3h内。同理，通过以上方法可预测得到其它城市2016年“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间[5]。

通过求解月球经度、纬度摄动及考虑观测点海拔的月球位置，建立模型与仿真求解。仿真结果表明，当月亮对观察者的高度角大于1 0°时可实现“月上柳梢头”。因此，最终推导出月亮对观察者的高度角随时间变化的关系。同时，对任意时刻太阳和月亮位置的计算进行改进，加入摄动量和观测点的海拔，可提高模型精度。根据客观规律，剔除了一些几乎不可能同时出现“月上柳梢头，人约黄昏后”的情况，对于剩余日期分别计算日没时刻，并判断“月上柳梢头”的时刻是否在日没时刻之后3 h以内。

表2 2016年北京市“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间

3 结束语

本文利用摄动量和所建立的数学模型更加准确地描述了月亮与太阳的位置，进而可更加准确求解“月上柳梢头，人约黄昏后”的时刻。该模型算法直观，易于计算机编程仿真实现，并且能准确预测发生时间。由于数学模型的建立与求解最终都是为了更好地让人们了解大自然的运动规律，同时为人们的生产生活提供更好的服务，因而下一步研究将借助该模型的相关算法应用于实际生产生活中，从而实现该模型的应用和推广价值。

[1]薛毅.“月上柳梢头”问题解析[J].数学建模及其应用，2015，4(4):50-60.

[2]李波，王妍婷，常星星.对“月上柳梢头”的数学模型分析[J].湖北工业职业技术学院学报，2015，28(6):108-110.

[3]SCHLYTER P.Computing Planetary Positions-a Tutorial with Worked Examples[EB/OL].（2015-09-12）[2016-05-20]. http://stjarnhimlen.se/comp/tutorial.html.

[4]SCHLYTER P.How to Compute Rise/set Times and Altitude above Horizon[EB/OL].（2015-09-12）[2016-05-20]. http://www.stjarnhimlen.se/comp/riset.html#2.

[5]万永革，庄献华.防专校园太阳高度及升降方位的计算[J].防灾技术高等专科学校学报，2003，5(1):1-9.

[责任编辑：王玮明]

Time Prediction Model and Solution about “the Moon Rose above the Willow Tree”

PENG Yafa
(Information and Control Engineering Institute, Zhejiang Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang, 322100, China)

“The moon rose above the willow tree” is defined as the moon holds an elevation of more than 10 degrees to the observer. “Dusk” means the moment when the edge of the sun touches the horizon. Three hours after the dusk is the right time to have a date. By making the time predicting model for “the moon rose above the willow tree”, the research has demonstrated the relation between the location of the sun and the elevation of the moon changes with time for the observer. The study tries to use computer simulation to work out the date and time for “the moon rose above the willow tree, and after dusk he had a tryst with me” by referring to the available astronomic materials. The simulation result indicates that this model can predict the exact time.

Mathematical model; Computer simulation;Astronomy; Elevation angle

O242.1

A

1671-4326(2016)04-0062-04

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.086

2016-06-06

彭亚发（1979—），男，江西吉安人，浙江广厦建设职业技术学院信息与控制工程学院副教授，硕士.