论等价关系在线性代数学习中的重要性

孙晓霞

摘要：本文主要介绍了线性代数课程中的一些等价关系及其应用，介绍了向量组的等价以及矩阵的等价。进一步分析了各种等价关系之间的关系。通过对等价关系的研究，可以对向量组以及矩阵进行分类，进而可以探讨等价关系中的保持不变的性质。

关键词：向量组;矩阵;等价;不变量

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）05-0172-02

一、引言

线性代数是大学理工科和财经类学生必修的一门数学基础课。本课程的特点是实用性很强，几乎任何领域都会涉及到线性代数的内容。但是，线性代数抽象程度高，逻辑思维力强。因此，学好线性代数，需要学生不仅要学明白知识点，最重要的是理清各种数学概念的相关性以及逻辑关系。贯穿线性代数课程的一个非常重要的关系就是等价关系。它可以将很多知识点都联系起来，从而有助于我们更深刻的理解线性代数中的很多概念。

两个事物等价，一般是指这两个事物在某些方面有共同的性质，因此，在研究此类性质时，对这两个事物不加以区分。等价关系具备自反性对称性以及传递性。现实生活中的很多关系都是等价关系，例如朋友关系、室友关系等等。数学中很多关系也是等价关系，例如中学接触到的三角形相似的关系等。如果研究对象的某种关系是等价关系，我们就可以利用这种关系对研究对象进行分类。属于同一类别的研究对象具有相同的性质，例如两个三角形相似，角度是相同的。因此，线性代数中的等价关系和现实生活中的等价关系是类似的。

数学上，等价关系严格的定义是指：满足自反性，对称性，传递性的关系称为等价关系。给定两个量A和B，下面是这三个关系的解释。自反性：A和A等价。对称性：A和B等价，则B和A等价。传递性：A和B等价，B和C等价，则A和C等价。

本文首先介绍向量组的等价、分类以及保持不变的性质。然后介绍矩阵的等价系以及保持不变的性质，最后给出两种等价的关系。

二、向量组的等價

向量组这个概念简单，但其内在的关系对讨论线性方程组解的结构起着至关重要的作用。下面定义是向量组的等价。

定义1 给定两个n维向量组（A）：α  ，α  ，…α  ，（B）：β  ，β  ，…β  ，如果向量组（A）中任何一个向量可由向量组（B）线性表示，同时向量组（B）中任何一个向量可由向量组（A）线性表示，则称向量组（A）和（B）相互等价。

易证上述定义的关系满足自反性，对称性以及传递性，因此向量组的等价确实是一种等价关系。由定义可知极大无关组和原向量组相互等价。每个向量组包含向量的个数不一定一样，线性相关性也可以不一样。但是，两个等价的线性无关的向量组所包含的向量是一样的。下面给出向量组的等价保持不变的性质。

性质1 如果向量组（A）和（B）相互等价，则两个向量组的秩相等，即

r（α  ，α  ，…α  ）=r（β  ，β  ，…β  ）.

性质1表明向量组的等价关系保持向量组的秩不变。即，秩为此等价关系不变量。反之不成立，即向量组的秩相同，不一定能得到两个向量组等价，下面给出两个向量组等价的充分条件。

定理1 给定两个n维向量组

（A）α  ，α  ，…α   （B）β  ，β  ，…β

构造向量组（C）α  ，…，α  ，β  ，…，β  ，则向量组（A）和（B）等价的充要条件为向量组（A）（B）（C）的秩相等。

证明：必要性：设向量组（A）和（B）等价，要证向量组（A）（B）（C）的秩相等。

由性质1知向量组（A）和（B）的秩相等。则这两个向量组的极大无关组相互等价且包含向量的个数相同。由于向量组（C）可由向量组（A）和（B）线性表示，因此向量组（C）可由这两个向量组的极大无关组表示，又因为这两极大无关组可相互线性表示，因此向量组（C）可由（A）的极大无关组和（B）的极大无关组分别表示，即（A）的极大无关组和（B）的极大无关组也为向量组（C）的极大无关组。因此向量组（C）的秩和（A）（B）的秩相等。

充分性：设向量组（A）（B）（C）的秩相等，要证向量组（A）和（B）等价。

由于向量组（A）（C）的秩相等，因此向量组（A）的极大无关组也为向量组（C）的极大无关组，因此向量组（A）（C）等价。同理向量组（B）（C）等价。综上所述，利用等价的传递性即可知向量组（A）和（B）等价。

三、矩阵的等价

矩阵是线性代数中重要的研究对象，同时也是解决许多问题的数学工具，下面介绍矩阵的等价关系及等价不变量。

定义2 给定n阶矩阵A和B，如果A经过若干次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A和B相互等价。

由于初等行变换相当于对矩阵左乘初等矩阵，初等列变换相当于对矩阵右乘初等矩阵，因此以上关系用等式表示为PAQ=B，其中P和Q分别为可逆矩阵。容易证明，上述定义的矩阵关系是等价关系，即满足

1.自反性;令P=I和Q=I，则PAQ=A。

2.对称性;如果PAQ=B，则P  BQ  =A，因此B和A也等价。

3.传递性：如果PAQ=B，MBN=C，则PMANQ=C，因此A和C也等价。

下面探讨矩阵等价保持不变的性质：

性质2 矩阵A和B等价，则

1.r（A）=r（B）;初等变换不改变矩阵的秩。

2.矩阵A和B具有相同的可逆性;根据行列式的性质可知|A|=k|B|，其中k≠0。

3.矩阵A和B相似，因此具有相同的特征多项式，即有相同的特征值。

性质3 矩阵运算对等价性的影响，如果矩阵A和B等价

1.对实数k，矩阵kA和kB等价。

2.矩阵A  和B  等价。

3.如果矩阵可逆，则矩阵A  和B  等价。

四、向量组的等价和矩阵的等价的关系

一般情况，向量组等价和矩阵的等价不能互推。但是在某些条件下两者有一定的关系，下面讨论这个问题。

定义3 如果向量组（A）和（B）均有n列（行），而且向量组等价，则这两个向量组构成的矩阵也等价。

证明：如果向量组（A）和（B）均有n个列（行）向量组等价，则两个向量组的秩相等。因此，两个向量组构成的矩阵具有相同的秩。由于构成的两个矩阵有相同的阶数，因此它们都等价于同一个等价标准型，利用矩阵等价关系的传递性可知这两个向量组构成的矩阵也等价。

注解：定理中必须要求两个向量组包含向量的个数一致。如果包含向量的个数不一致，则它们构成的两个矩阵的阶数不同，那么它们一定等价于不同的等价标准型，因此两者肯定不等价。例如，

设（A）：α  =（1，0） α  =（0，1）;（B）：β  =（1，2） β  =（1，1） β  =（1，-1）

定理2 如果n×m矩阵A经过初等行变换得到B，即PA=B，则向量组（A）和（B）等价。

證明：设P=p   p   … p  p   p   … p       p   p   … p  ，A=α  α   α  ，

B=β  β   β  ，则由PA=B可知

p   p   … p  p   p   … p       p   p   … p  α  α   α  =p  α  +p  α  +…+p  α  p  α  +p  α  +…p  α   p  α  +p  α  +…+p  α  =β  β   β  ，即证结论。

需要说明的是：如果n×m矩阵A经过初等列变换得到B，即AP=B，则我们同样可得向量组（A）和（B）等价。

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