也谈逆算符 -1和 (+)-1在Fock空间中的本征态

刘堂昆, 张康隆，吴盼盼

(湖北师范学院 物理与电子科学学院，湖北 黄石　435002)

刘堂昆, 张康隆，吴盼盼

(湖北师范学院 物理与电子科学学院，湖北 黄石435002)

摘要：用柯西积分公式与 δ函数的方法，在Fock空间中给出了谐振子逆算符 和 ()-1的本征态的显式。

关键词：逆算符；本征态；Fock空间

中图分类号：O413.1

文献标识码：A

文章编号：1009-2714(2015)04- 0001- 05

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.001

收稿日期：2015—09—02

基金项目：湖北省教育厅教学研究项目(SJ201101)

作者简介：刘堂昆(1956—)，男，湖北武穴人，博士，教授。张康隆(1985—)，男，湖北黄冈人，在读研究生。吴盼盼(1988—)，女，山西临汾人，硕士.

0引言

1992年，Mehta[1]定义了谐振子产生算符和湮灭算符的两个逆算符-1和 (+)-1，当-1和 (+)-1分别作用在Fock态 |n上，有

-1|n

(1)

(+)-1|n

(2)

这个结果在1993年被范洪义[2]给出了严格的证明。逆算符-1和 (+)-1的矩阵元分别是

m|-1|n

(3)

m| (+)-1|n

(4)

=|nn|

(5)

(6)

(7)

(+)-1=(+)-1|n

(8)

因此得到

a-1=(+)-1+=I

(9)

-1=+(+)-1=I-|00|

(10)

我们假设 |γ是右逆算符-1的本征值为γ的本征态，即

-1|γ=γ|γ

(11)

将|γ按照Fock态 |n展开，有

C0(γ)|0+C1(γ)|1+C2(γ)|2+…+Cn(γ)|n+…

(12)

再由方程(1)，可以看到其左边为：

-1|γ=|n'=

(13)

右边为

从防除阔叶杂草来看，18种药剂中防除阔叶杂草好的药剂较多，24%乙氧氟草醚乳油、10%乙羧氟草醚水剂、25%氟磺胺草醚水剂、21.4%三氟羧草醚水剂、75%噻吩磺隆可分散粒剂、70%嗪草酮可湿性粉剂、48%灭草松水剂、20%氯嘧磺隆可湿性粉剂、80%唑嘧磺草胺水分散粒剂、12%草酮乳油、240 g/L甲咪唑烟酸水剂、5%嗪草酸甲酯乳油、50%丙炔氟草胺可湿性粉剂、50%扑草净可湿性粉剂对阔叶杂草均有很好的效果，株防效和鲜质量防效均在78%以上。48%异草松乳油对阔叶杂草有一定的效果，另外3种药剂包括 108 g/L 高效氟吡甲禾灵乳油、5%精喹禾灵乳油、24%烯草酮乳油对阔叶杂草无效。

γ|γ==

γ[C0(γ)|0+C1(γ)|1+C2(γ)|2+…+Cn(γ)|n+…]

(14)

得到

(15)

比较两边的系数，有

0|γ+++…+n|γ+…=

γ[0|γ|0+1|γ|1+2|γ|2+…+n|γ|n+…]

(16)

可见

γ<0|γ>=0

(17)

γ1|γ0|γ,γ2|γ1|γ

γ3|γ2|γ,…

(18)

γn|γn-1|γ

C0(γ)=0|γ=δ(γ)

(19)

(20)

(21)

相比较可得δ(γ)高阶导数

(22)

与(17)式比较，它们的递推结构完全相同，即有

0|γ=δ(γ)

1|γ

2|γ

3|γ‴(γ)

…………………………………

从而得到展开系数

Cn(γ)=n|γ=(-1)

(23)

|γn|γ

(24)

现在验证|γ是右逆算符-1的本征态：

-1|γ==

证毕。我们是在Fock态 |n展开下的结果，明显与文献[5～6]不同。

采用上述相同的方法，假设 |λ是左逆算符(+)-1的本征值为λ的本征态，即

(+)-1|λ=λ|λ

(25)

将|λ按照Fock态|n展开，即

|λn|λ=

C0(λ)|0+C1(λ)|1+C2(λ)|2+…+Cn(λ)|n+…

(26)

代入方程(25)，即有左边为：

(+)-1|λ==

(27)

右边为

λ|λ==

λ[C0(λ)|0+C1(λ)|1+C2(λ)|2+…+Cn(λ)|n+…]

(28)

得到

(29)

比较两边的系数，有

<1|λ+2|λ+3|λ+…+n+1|λ+…=

λ[0|λ|0>+1|λ|1+2|λ|2+…+n|λ|n+…]

(30)

可见

λ0|λ1|λ

λ1|λ2|λ

λ2|λ3|λ

………………………

λn|λn+1|λ

(31)

要使(31)成立，唯一的是所有的系数均为0，即Cn(λ)=0.故左逆算符 (+)-1不存在本征态。

致谢：感谢单传家博士的有益讨论。

参考文献:

[1]Mehta C L, Anil K Roy, Saxena G M. Eigenstates of two-photon annihilation operators[J]. Phys Rev A ，1992，46(3): 1565~1572.

[2]Fan Hong-yi. Inverse operators in Fock space studied via a coherent-state approach[J].Phys Rev A ，1993，47(5): 4521~4523.

[3]蔡维理,范洪义. 谐振子产生算符和湮没算符的逆算符.大学物理[J].1996,15(5):29~29.

[4]韦联福，杨庆怡. 相干态是-1的本征态吗? [J]大学物理,1998，17(5):21~23.

[5]党兰芬，邹丽新. 逆算符在Fock空间的性质及基本特征[J].苏州大学学报(自然科学版)，2002,18(4):67~70.

[6]许雪芬. 逆算符在Fock空间的本征态[J].江苏技术师范学院学报，2005，11(4):14~17.

[7]范洪义. 量子力学表象与变换论[M]. 上海:上海科学技术出版社，1997.

Also on the eigenstates of inverse operators and in Fock space

LIU Tang-kun，ZHANG Kang-long，WU Pan-pan

(College of Physics and Electronic Science, Hubei Normal University,Huangshi435002, China)

Abstract:We study the eigenstates of the harmonic oscillator inverse operators-1and (+)-1in Fock space, by the method of the Cauchy integration figure and the δ function.