高中数学解题歌诀的应用举例

张秀梅

摘 要：文章从高中教学的实际出发，将波利亚的《怎样解题表》简化为易于记诵的解题歌诀。该歌诀揭示了数学解题的三个阶段，即：知识准备、挖掘线索、总结归纳，并通过例题解释了“变形未知数” “分解条件走两步” “从简单入手” “画张草图”等常见的线索挖掘方式。

关键词：解题策略；高考；数学.

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）02-200-01

“不会解题”是很多同学在数学学习进程中遇到的瓶颈。他们常常感叹：“基础知识我都会了，老师上课讲的我也能明白，可是就是不会做题！”我根据自己的解题经验，借鉴并简化波利亚的“怎样解题表”，依“忆江南”词牌，填了一首名为《怎样解题》的词。如下：

“相识否？变形未知数！分解条件走两步，简单入手画张图。莫忘采蘑菇。”

学生在熟记并理解之后，通过教师的经常性的思路分析，解题能力得以很大提高。遂整理成文，可供读者参考。

这首词揭示了数学解题的三个阶段：

第一阶段，解题前，要有一定的知识准备，即基础知识与常见技巧。头脑中要有清晰地知识体系，要了解对不同题型的基本解法，比如：“怎样证明直线过定点？怎样判断数列的单调性？求线面角有哪些方法？”等等。只有这样，才能在分析题意之后，有种“似曾相识的”的感觉。要的就是这种感觉！解决问题的本质就是从未知关系中找到已知结构。所以，读完题后，马上问自己：“我做过与之类似的问题吗？它属于什么题型？这种题型有哪些常见思路？”如果认识，那就动手吧！如果不认识，说明线索隐藏的很深，我们要把它们通过各种手段挖出来，转化成熟知的题型或知识！

例1、（09上海）当 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是_____.

分析：本题属于“已知不等式恒成立，求参数范围”的问题。对这类问题，有两种常见的思路，一是分离参数，将问题转化为函数最值，二是利用数形结合思想，研究函数图象的变化规律。如果利用第一种思路，则 ，只需求 的最小值，而 ，则很难继续求解。

再尝试第二种思路，我们发现，

不等式左右两侧都是

熟知的初等函数。于是，

作出 与 的图象，

要使不等式 成立，由图可知须k≤1。

第二阶段，解题时，充分挖掘题目中的线索。常见的解题策略有：（1）“变形未知数”。目标是解题的关键，只有确定了准确的解题方向，才能一步一步探索出正确的方法。实际上，这就是我们常说的分析法，它的思维结构是“要证……只需证……”，“为了求出……只需求出……”等。

（2）“分解条件走两步”。有些题目条件较多，线索比较复杂，这时，我们可以考虑将每个小条件分解出来，看看它们各自能推出什么，这就是所谓“向前走两步”。在“走两步”的过程中，要时刻注意各个小条件之间的联系以及最终目标。

（3）“从简单入手”。指从特值特例入手发现题目的解法或者结论，比如对一般图形成立的问题，我们可以从特殊图形入手；对某个点动态变化成立的问题，我们可以从某个特殊的固定状态或极限状态入手。

例2、（05全国卷1） 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m =

分析：由题意可知，对于变化的 ，总有一个固定的m值使得等式成立。于是，考虑以C为顶点的直角三角形，H与C重合，O为 的中点。此时， ， ，所以，m的值应为1。这就成功的解答了此道填空题，并为后续的严格证明提供了方向。

（4）“画张草图”。数形结合是高中数学的一个基本思想，贯穿于函数、三角、向量、解析、立体等大量章节。图形的直观性，为我们清晰的思维提供了便利，。我们应该把画草图（不一定很精确）作为解题的一个基本习惯。再举一个例子，它体现了“研究方程解的个数和位置，而方程不能解时，要通过图像交点来解决”这一基本技巧。

例3、（07天津）设 均为正数，且 ， ， .则（ ）

A. B. C. D.

分析：此题中 的值是无法解出来的，故采取画函数图象观察交点位置的策略。

设 ， ，

， ，则 即为

与 图像交点的横坐标。在同一坐标系里，画出四条函数曲线，结果自明。

第三阶段，解题后，适时总结归纳，这就是所谓“莫忘采蘑菇”（蘑菇有个特性，总是成群生长的）。我们要问自己：“这道题的解法有一般性嘛？还有没有其他解法？有没有与这道题叙述相似或解法相似的问题可以归类总结？”比如，例1中所提到的“恒成立问题的常见解法”，就是对多个题目类比总结之后形成的体系。当然这是一个逐渐积累，不断完善的过程。