关于施密特正交化的一点注释与应用

蔡 改 香

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



关于施密特正交化的一点注释与应用

蔡 改 香

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：高等代数中求标准正交基、求正交阵都要用到施密特正交化。欧式空间的基中向量的位置不同，经过施密特正交化所得到的标准正交基的结果也不同，并且计算量的大小也不同。用施密特正交化法求实对称矩阵的逆矩阵是一种新的方法。

关键词：基，标准正交基，施密特正交化

高等代数中，欧式空间的一组线性无关的向量张成一个子空间[1]，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。施密特正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。从几何上说，正交基就像一个欧式空间的直角坐标系，比如三维空间的x轴，y轴，z轴，没有正交化的就是非欧几何，如用(1,0,0)，(1,1,0)，(1,1,1)也可以作为一组基，但别的向量用这组基表示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上，不用正交基的话计算不稳定，会随着计算过程逐步积累误差，可能会使得误差过大而使计算结果根本不可用，而正交基则不会发生这种问题。

是正交于子空间Vm[4]，即β正交于Vm的正交基α1,α2,…,αm，因此只要将β单位化，即

那么α1,α2,…,αm,αm+1就是Vm在α上扩展的子空间span{α,α1,α2,…,αm}的标准正交基。根据上面的分析，对于向量组α1,α2,…,αm张成的空间span{α1,α2,…,αm}，只要从其中的一个向量，不妨设为α1，所张成的一维子空间span{α1}开始(注意到{α1}就是span{α1}的正交基)，重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vm的一组正交基。这就是施密特正交化的思想。首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为α1,α2,…,αm，施密特正交化的过程如下[1]，

第一步：正交化

第二步：单位化

这样就得到span{α1,α2,…,αm}上的一组正交基β1,β2,…,βm以及标准正交基η1,η2,…,ηm。

定理1设α1,α2,…,αn是欧氏空间V(n)的一组基，则一定存在V的一组标准正交基η1,η2,…,ηn，使由基α1,α2,…,αn到η1,η2,…,ηn的过渡矩阵为上三角形且主对角线上元素均大于0。

证明由施密特正交化的过程，由基α1,α2,…,αn到标准正交基η1,η2,…,ηn的过渡矩阵是上三角阵

显然T的主对角线上元素均大于0。

对一组线性无关的向量施行施密特正交化时，从理论上来说，β1的选取是随意的，由定理1，β1的选取不同导致施密特正交化所得的标准正交基也是不同的。并且选取β1不同使得计算过程中的计算量也是不同的，下面举例说明。

例1用施密特正交化方法，将R3中基α1=(1,1,1),α2=(0,1,1),α3=(0,0,1)化为标准正交基。

第二步单位化：

得η1,η2,η3为标准正交基。显然这两组标准正交基是不一样的，且前面这种β1的选取方法为我们的计算带来了方便。

欧式空间的标准正交基一定存在，但不一定唯一，由同一组基出发变成标准正交基的结果也可以不唯一，它和向量的排序有关系。显然向量按前面这种排序，计算量要小些。从上解法我们发现将简单的向量如分量中零元素比较多的向量视为施密特正交化的第一个向量β1，依此类推。这样可以简化计算。

逆矩阵的求法有待定系数法、伴随矩阵法、初等变换法[5]等，下面就实对称矩阵给出其逆矩阵的一种新的求法：施密特正交化法。

定理2[1]任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵P，使得

其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值。由定理2，实对称矩阵A的逆矩阵A-1=PΛ-1P-1=PΛ-1PT，由于正交矩阵的逆矩阵很容易求，为其转置矩阵，这样求A的逆矩阵关键是求正交矩阵。

解|λE-A|=(λ+7)(λ-2)2，A的特征值为λ1=-7,λ2=λ3=2。相应的特征向量为

α1=(1,2,-2),α2=(-2,1,0),α3=(2,0,1)

正交化，得β1=(1,2,-2),β2=(-2,1,0),

参考文献:

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.

[2]胡万宝.高等代数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2013.

[3]吕林根.解析几何(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2010.

[4]李丽. 线性代数教学中两个问题的几何解释[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2013(21):3-4.

[5]高明.逆矩阵的求法[J].阴山学刊(自然科学版),2006(2):14-16.

A Note and Application of the Schmidt Orthogonalization

CAI Gai-xiang

(School of Mathematics & Computational Science, Anqing Teacher College，Anqing 246133, China)

Abstract:In higher algebra, we have used the Schmidt orthogonalization to solve standard orthogonal basis and the orthogonal array. This paper mainly introduces if positions of vectors are different in the base of Euclidean space, then the standard orthogonal basis obtained through the Schmidt orthogonalization is different, and the amount of calculation is different. This paper also introduces the method of solving the inverse matrix of real symmetric matrix by using Schmidt orthogonalization.

Key words:basis, standard orthogonal basis, Schmidt orthogonalization

中图分类号：O151.21

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0106-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.030

作者简介：蔡改香，女，安徽庐江人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师， 研究方向为谱图理论及其应用。

基金项目：安庆师范学院青年科研基金项目(KJ201307)。

收稿日期：2014-06-28