D族END随机变量随机和的精致大偏差

何基娇，胡怡玉，周之寒

(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)



D族END随机变量随机和的精致大偏差

何基娇，胡怡玉，周之寒

(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

摘要：重尾理赔下风险模型的精致大偏差研究是现代保险精算学中的一个重要课题。假定理赔序列为一列D族重尾END同分布随机变量序列，理赔到来过程为一与理赔序列独立的计数过程。在一定条件下，得到该风险模型在一般情形下的精致大偏差，推广了相关文献已报道的结果。

关键词：精致大偏差；END；随机和；控制变换尾

保险业是经营风险产品的特殊金融服务行业。由[1]知，对于某个给定的保险公司，“占总理赔次数20%的那些大额理赔的数额约占公司历史理赔的80%”。为了更好地进行风险管理，一个核心问题就是风险度量。重尾随机变量，即它的指数阶矩不存在，可用于刻画大的理赔。基于重尾随机变量随机和的精致大偏差可用于估计公司的破产概率这一特性，近年来该问题受到广泛关注，出现了大量的研究成果。早期的结果可见[2-4]等，近期的研究成果可见[5-9]等。值得注意的是，文[6]得到了C族END随机变量确定和的精致大偏差，随后文[7]和文[9]分别将上述精致大偏差结果推广到随机和情形。本文旨在研究D族END随机变量随机和的精致大偏差。其中，C族的定义可参阅[1], D族和END随机变量的定义见第二节定义1和定义2，并且由[1]知D族是严格包含C族的。

假定F∈D，在一定条件下，本文得到SNt,c的精致大偏差，推广了文[9]和文[10]中的结论。

1定义和引理

本文需要对计数过程{N(t),t≥0}做如下两个假设：

假设1对任意的δ>0，存在

假设2对所有的0<δ<1

另外，本文采用如下记号：对两个正无穷小函数f(·)和g(·)，满足

若b<∞，记f(·)=O(g(·))；若b=0，记f(·)=o(g(·))；若b=1，记f(·)g(·)；若a=1，记f(·)≅g(·)；若两个条件都成立，记f(·)g(·)；若0

定义1[1]称支撑在[0,∞)上的分布F属于控制变换尾分布族，记作F∈D，如果对任意的0

(1)

定义2[6]称{Xk,k=1,2,…}为END随机变量，如果存在常数M>0，使得对任意的n=1,2,…和x1,…,xn有

(2)

(3)

引理1[9]设{Xk,k=1,2,…}为END随机变量，共同分布为F∈D，期望μ<∞。{N(t),t≥0}满足假设1，c是任一给定的实数且c+μ≥0，则对任意δ>0和γ>c，当t→∞，x≥γλ(t)时有

引理2[10]设{Xk,k=1,2,…}为END随机变量，共同分布为F∈D，期望μ<∞。满足∃r>1，使得

E|X1|r1{X1≤0}<∞且

(4)

则对任意给定的γ>0，有下面不等式成立，

(5)

2主要结果及证明

定理设{Xk,k=1,2,…}为END随机变量，共同分布为F∈D，期望μ<∞，且满足(4)式。再设{N(t),t≥0}是一与{Xk,k=1,2,…}相互独立的非负整数值计数过程，则对于任意给定的γ>c，关系式

(6)

在下列两个条件下均成立：(1)当c+μ≥0时，{N(t),t≥0}满足假设1；(2)当c+μ<0时，{N(t),t≥0}满足假设2。

注在定理1中，如果令F∈C，注意到此时ρF=MF,μ≡1，LF≡1，则该定理可退化为[9]中的结果。

证明下面的证明过程中所有极限过程均指t→∞，且对x≥γλ(t)一致。证明过程可以分为(1)c+μ≥0与(2)c+μ<0两种情形分别加以讨论。由于

x+μλ(t)-(c+μ)n)P(N(t)=n)=

I1(x,t)+I2(x,t)+I3(x,t)

(7)

(1)当c+μ≥0时。

(c+μ)(1-δ)λ(t))nP(N(t)=n)≤

δμλ(t))P(N(t)<(1-δ)λ(t))=

(8)

(x-cλ(t)))

(9)

以及

I2(x,t)(1-δ)λ(t)(1-ε)2·

(10)

最后由引理1知，

(11)

将(8)-(11)式带入到(7)中，并令ε↓0,δ↓0，由LF的定义可得

(12)

以及

(13)

(12)和(13)式表明定理1(1)成立。

(2)当c+μ<0时。分①γ+μ≥0和②γ+μ<0两种情况来讨论。

x+μλ(t)-(c+μ)n≥-(c+μ)n

(i)若μ≥0，c<0时有

(ii)若μ<0，c≥0时有

(iii)若μ<0，c≤0时有

故总有

于是由引理2得

(14)

(x-cλ(t)))

(15)

以及

I2(x,t)(1-δ)λ(t)(1-ε)2·

(16)

(17)

将(14)-(17)式代入(7)，并令ε↓0,δ↓0，由LF的定义同理得(12)和(13)成立。

[γλ(t),∞]=[γ1λ(t),∞)∪[γλ(t),γ1λ(t)]

对于第一部分x≥γ1λ(t)，有x+μλ(t)-(c+μ)n≥-(c+μ)n，同上①的证明可得(14)式成立。

对于第二部分γλ(t)≤x<γ1λ(t)，由γ1-c>0和F∈D得

再由假设2，对所有的γλ(t)≤x<γ1λ(t)就有

I1(x,t)≤P(N(t)≤(1-δ)λ(t))=

因此对所有的t→∞,x≥γλ(t)就有

I1(x,t)o(λ(t)

(18)

综上，定理成立。

参考文献:

[1] Embrechts P , Klüppelberg C, Mikosch T. Modeling extremal events for insurance and finance[M]. Spinger, Berlin, Heidelberg, 1997：1-20.

[2] Nagaev A V. Integral limit theorems with regard to large deviations when Cramér’s condition is not satisfied[J]. Theory Probability and its Applications, 1969( 14)：51-64.

[3] Heyde C C. On large deviation problems for sums of random variables which are not attracted to the normal law[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1967(38)：1575-1578.

[4] Klüppelberg C , Mikosch T. Large deviations of heavy-tailed random sums with applications in insurance and finance[J]. Journal of Applied Probability, 1997, 34(2)：293-308.

[5] Tang Qihe, Su Chun, Jiang Tao, et al. Large deviations for heavy-tailed random sums in compound renewal model[J]. Statistics & Probability Letters, 2001, 52(1)：91-100.

[6] Liu Li. Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails[J]. Statistics & Probability Letters, 2009, 79(9)：1290-1298.

[7] Chen Yiqing, Yuen Kam chuen , Ng Kai Wang. Precise large deviations of random sums in the presence of negatively dependence and consistent variation[J]. Methodology And Computing In Applied Probability, 2011, 13(4)：821-833.

[8] Chen Yiqing, Yuen Kam chuen. Precise large deviations of aggregate claims in a size-dependent renewal risk model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2012, 51(2)：457-461.

[9] Wang Shijie, Wang Xuejun. Precise large deviations for random sums of END real-valued random variables with consistent variation[J]. Mathematical Analysis and Applications, 2013, 402(2)：660-667.

[10] Wang Shijie, Wang Xuejun, Wang Wensheng. Precise large deviations of aggregate claims with dominated variation in dependent multi-risk models[J]. Abstract and Applied Analysis, 2014, doi：10.1155/2014/972029.

[11] Tang Qihe, Tsitsiashvili G. Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financial risks[J]. Stochastic Processes and their Applications, 2003, 108(2)： 299-325.

Precise Large Deviations of Random Sums

in the Presence of END Structure and Dominated Variation

HE Ji-jiao1，HU Yi-yu2，ZHOU Zhi-han3

(School of Mathematic Science, Anhui University, Hefei 230601,China)

Abstract:The risk model of precise large deviations for sums of heavy-tailed random variables is an important topic in insurance and finance. In this paper, let the claims be a sequence of real-valued identically distributed random variables with common distribution function. The claim number is a nonnegative inter-valued counting process independent of the claims. Under some conditions, we obtained precise large deviations of the risk model under the general case and promoted a number of classical results.

Key words:precise large deviation, extended negatively dependent, sums of random variables, dominated variation

中图分类号：O211.4

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0016-04

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.005

作者简介：何基娇，女，安徽合肥人，安徽大学数学科学学院硕士研究生，研究方向为保险精算。

基金项目：安徽大学科研训练计划资助项目(资助号：KYXL2014008)。

收稿日期：2014-07-23