匀强电场中电子运动的路程分析

匀强电场中电子运动的路程分析

卫丽娜

(宁夏理工学院文理学院宁夏 石嘴山753000)

摘 要：运用微积分知识导出电子在匀强电场中做斜抛运动的路程表达式.并推出对同一初速度而言，当进入角θ=56.455 078°时，电子运动的路程最大.

关键词：匀强电场电子运动路程

收稿日期：(2015-08-17)

Abstract：Essentially，the model of spring oscillator motion affected by stable constraint on horizontal plane is a problem of particle motion under the action of central force which is proportional to the first-power of r. In this paper，we have established the kinetic equation about this model in polar coordinates by Lagrange equation. We respentively take the methods of Taylor series expansion and Matlab software numerical simulation to calculate the kinetic equation，and we have depicted the corresponding curve which coordinates change with the time，the movement phase diagram and the trajectory. We have compared the results of two methods and found that when the initial velocity is slower，the motion of spring oscillator in the radial direction is periodic simple harmonic motion and it is non-linear increasing in the transverse，the movement on the horizontal plane is quasiperiodic.

1引言

在普通物理课程中，电子e以初速度v0进入带等量异种电荷的平行金属板之间的匀强电场E中，忽略其重力的影响[1]，仅考虑电子受到的电场力.本文利用微积分知识推导出该电子在匀强电场E中路程的表达式，并进一步推导出对同一初速度而言，只有当进入角θ=56.455 078°时，电子运动的路程L最长.

2电子运动路程表达式

如图1所示，带等量异种电荷的平行金属板之间的匀强电场E，建立平面坐标系xOy，电子进入电场时的速度方向与正极板间的夹角为θ(0<θ<90°).

图1

Study on Particle Motion under the Action of Central

Force in Proportional to the First Power of R

Li YangWang HongHan Yanling

(School of Mathematics and Physics，China University of Geosciences，Wuhan，Hubei430074)

Key words：horizontal plane；stable constraint；spring oscillator；polar coordinates；Taylor series expansion；Matlab software numerical simulation

(1)

其中R为电子的水平射程(平行于x轴)且

式中me为电子的质量.又

(2)

其中t为电子运动时间.消去t，则得电子运动的轨迹方程

(3)

对其求导数，可得轨迹微元的斜率

(4)

将式(4)代入式(1)并利用积分公式[2]

整理得

(5)

即为电子运动的路程表达式.

3数值结果与讨论

运用式(5)对电子[进入电场时的速度方向与正极板间的夹角为θ(0<θ<90°)]在带等量异种电荷的平行金属板之间的匀强电场E中的运动进行讨论.

3.1当θ为特殊值时电子运动的路程

而由式(5)，当θ→90°时，有

(6)

可见，其结果与我们预见的一致.

3.2当电子运动的路程最长时的θ值

式(5)两边对θ求导(设v0一定)，得

(7)

令

(8)

其解为θ0，则由式(7)得L′(θ0)=0 又因

(9)

故由式(8)、(9)得

L″(θ0)=

依题意0<θ<90°，则说明当θ=θ0时，L取最大值.运用二分法通过计算机求解式(8)得θ=56.455 078°时，即对于同一初速度v0进入带等量异种电荷的平行金属板之间的匀强电场E中运动的电子而言，当进入角θ=56.455 078°时，电子运动的路程最大.

参 考 文 献

1马继坤. 带电粒子在电场中运动的典型例题分析. 新高考(高一物理)，2014(6)：20～21

2黄立宏.高等数学(上册)(第3版).上海：复旦大学出版社，2013.267