分数阶人口阻滞增长模型研究

李晨薇+陈福来

[摘 要]建立了分数阶人口阻滞增长模型，并通过一个算例说明了在一定情况下，分数阶人口阻滞增长模型优于相应的整数阶人口阻滞增长模型。

[关键词]分数阶微分方程；人口阻滞增长模型；数值解

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.03.016

1 前 言

人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。世界人口的迅猛增长引起了许多问题，特别是一些经济不发达国家的人口过度增长，影响了整个国家的经济发展、社会安定和人民生活水平的提高，给人类生活带来许多问题。为了解决人口增长过快的问题，人类必须控制自己，做到有计划地生育，使人口的增长与社会、经济的发展相适应，与环境、资源相协调。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

指数增长模型和阻滞增长模型是两个最基本的人口模型。指数增长模型由英国人口学家马尔萨斯于1978年提出来的，其基本假设为人口的增长率是常数，获得的结果表明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越明显。阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。这个模型比指数增长模型更加合理。

在近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是被忽略的[1]。本文针对人口数量的变化具有典型的记忆和遗传性质，把人口增长模型中的整数阶微分方程修改为分数阶微分方程，能更加准确地预报人口增长的数量。

2 分数阶人口阻滞增长模型

分数微分与积分是指微分的阶数与积分的次数是任意实数乃至复数，而不是一个分数或者分式函数的微分和积分。分数阶人口阻滞增长模型是：

CDαx（t）=r（1-x（t）xm）x（t），0<α≤1

x（0）=x0（1）

这里CDα表示分数阶Caputo导数，当α=1时就是我们常说的整数阶人口阻滞增长模型。年人口增长率为r人口x（t）的函数r（x）由于受到自然资源、环境条件等因素的阻滞作用，是个减函数，这里r（x）=r（1-xxm），式中r叫作固有增长率，xm是自然资源和环境条件下年容纳的最大人口容量。根据已有的分数阶微分方程理论，[1]方程（1）对应的积分解为：

x（t）=x0+1Γ（α）t0（t-s）α-1r（1-x（s）xm）x（s）ds（2）

这个积分解是个奇异积分，不能正常求解解析解。利用文[2]的方法和程序，我们可以获得它的数值解。

下面基于1790—1990年这两百年的美国人口统计数据（见表1），对模型进行检验。

要用模型（1）来预报人口，必须先对表1中的数据进行标准化处理，对模型（1）中的参数r和xm进行估计。时间t的处理，令1790，1800，…，1990年分别对应t=0，1，…，20时刻，即x（0）=3.9，x（1）=5.3，…，x（20）=251.4。参数r（年固有增长率）取逐年增长率的几何平均值，由公式：

r=nΠni=1x（i）-x（i-1）x（i-1）（3）

获得，计算出r=0.2127。参数xm（最大人口容量）基于α=1时的整数阶人口阻滞增长模型：

x′（t）=0.2127（1-x（t）xm）x（t）x（0）=3.9（4）

所获得的解析解：

x（t）=xm1+xm3.9-1e-0.2127t（5）

利用表1中1790—1980年的数据拟合获得，[3]有xm=464。这样，我们建立了表1数据的分数阶人口阻滞增长模型：

CDαx（t）=0.2127（1-x（t）464）x（t），0<α≤1，

x（0）=3.9（6）

分别取α=0.8，0.85，0.9，0.95，1代入模型（6），预测出1800—1990年的人口数，预测的人口数量和相对误差结果见表2，并用下图表示相对误差的结果。

从表2和图1的数据我们可以看出，α取0.8和0.85时数据较好，相对误差较小，都优于α取1时的结果，尤其是α取0.85时数据相对误差最小，预报最准确。而α=1时是整数阶人口阻滞增长模型，从而我们知道，在这个算例中，α取适当的值时，分数阶人口阻滞增长模型优于整数阶人口阻滞增长模型。

参考文献：

[1]I.Podlubny..Fractional Differential Equations[M].San Diego： Academic Press，1999.

[2]陈福来，李势丰，王华.分数阶微分（差分）方程的Matlab求解程序[J].湘南学院学报，2011，32（5）： 1-4.

[3]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.