对一道物质波考题的几点思考

对一道物质波考题的几点思考

谢礼平

(南京东山外国语学校江苏 南京211103)

摘 要：对于一道有关物质波的考题，从多方面给予了分析与讨论.

关键词：物质波考题分析与讨论

收稿日期：(2015-03-04)

2014年高考江苏试题中选修模块3-5的第1题考查了物质波的相关知识，原题如下.

【题目】已知钙和钾的截止频率分别为 7.73 ×1014Hz和 5.44 ×1014Hz，在某种单色光的照射下两种金属均发生光电效应，比较它们表面逸出的具有最大初动能的光电子，钙逸出的光电子具有较大的________.

A.波长B.频率C.能量D.动量

本题在光电效应的背景下考查物质波的知识，题目的涉及面广、综合性强，有一定的难度，是一道很好的考题.在互联网和参考书上都容易找到本题的解题过程，但解答思路单一，未能从学生的角度去研究可能出现的问题.学生中有几种错误因面广而值得关注：一是将逸出光电子的能量误认为是光电子的初动能；另一是有的考生没有按照德布罗意动量公式计算运动电子对应的物质波的波长，而是误将光电子的运动速度当成其对应的物质波的波速，在由德布罗意能量公式得出频率后，结合波速公式而得到物质波的波长，也有将物质波的波速理解为光速进行计算的.下面就这些情况做几点说明.

(1)由光照射钙而逸出的光电子的能量是指其初动能吗？

答：不是，逸出的光电子的能量，是指其所拥有的所有能量，这个能量要用爱因斯坦的质能方程表示，即E=mc2.如果光电子是高速运动，其速率为v，光电子的静止质量为m0，其质量将为

其能量也相应的为

可以看出，从钙表面逸出的具有最大初动能的光电子，所具有的能量较小，其对应的物质波频率也较小.

此处，有的考生将具有最大初动能的光电子的能量误认为是动能Ek，由爱因斯坦光电效应方程Ek=hν-W0得出从钙表面逸出的光电子“能量”较小，再根据公式Ek=hν得出结论，这样，虽然也可以得出选项A，但是却并未真正理解“光电子的能量”的概念.

两种金属的逸出功大约是几个电子伏，在本题的情境中，光子能量的数量级也是几个电子伏，故逸出光电子能量的数量级也是如此，其最大运动速率v的数量级为106m/s，这样的速率，对电子来说，相对论的效应也可以忽略不计.因为选修模块的选择各校不相同，许多学生并不知道相对论质量变换公式，如果忽略相对论效应，由公式E=m0c2可知光电子的能量是相等的，虽然这样来看B,C两个选项依然是错误的，也依然可以由德布罗意动量公式得出A选项，但这个情况值得我们注意.

关于光电子动量的计算就简单了.如果相对论效应不可以忽略，那么，两种光电子的动量大小也可以由公式

来计算.如果忽略相对论效应，光电子的动量大小可由p=m0v来计算，很多学生采用的应该是后者，这未尝不可.

(2)逸出光电子对应的物质波的波长和频率是怎么计算的？

答：分别用德布罗意能量公式和动量公式计算其频率和波长.只是要注意，逸出的光电子的能量不能用动能代入，而是光电子拥有的总能量代入.

答：此过程有个错误环节，就是将电子的运动速率理解为运动光电子对应的物质波的波速.这个问题比较复杂，后面专门说明.

下面粗略讨论德布罗意波的物理意义以及波速与运动粒子速度之间的关系.

德布罗意认为, 在任何情况下粒子的存在必然伴随着一种与其对应的波动，因此，必须首先建立起粒子运动和波动传播之间的对应关系.

对于一个静止的粒子，按照德布罗意的理论，总有一个波与它对应着，根据简谐波的知识，对于波源处，其振动方程可表示为

在坐标x处，t时刻的振动状态，应表示为

(1)

真正的单色波是不存在的，因为实际中波的波列都是有限长的，按照傅里叶分解的观点，有限长的波列相当于许多单色波的叠加，叠加后的波振幅呈现出周期性变化的特点，这些周期性变化振幅的包络面称为波包，当波包通过有色散的介质时，各单色分量以不同的波速(相速度)vp前进，而波包的中心以较为缓慢的速度传播，这个速度叫群速度.波包的中心是振幅最大的地方，也是波的能量最为集中的地方，所以群速度也表示能量传递的速度.整个波包在传播时，形状逐渐改变，最简单的是两列波长和频率很接近的单色波组成的波包，下面从数学角度来描述它.

有两列波的角频率和角波数很接近，分别为ω±Δω和k±Δk，且振动方向相同，为简便，忽略它们的初相.则

这两列波的合成波列将为

(2)

如果这个粒子相对于某参考系以速度v运动，需要考虑相对论效应，可以建立两个坐标系：一个以该粒子本身为参考系S′，粒子相对于此参考系是静止的，而某参考系则称之为S.

在S系中，粒子以速度v前进，粒子上的固有时间为t′，在S系中的时间t可以由洛伦兹变换得到

其他同理可以得到

……

由此可进一步得到

令

则

可以看出，群速度才与运动粒子的速度相等，代表能量传递或粒子运动的速度，而相速度超过光速，它既不是粒子本身运动的速度，也不是能量传播的速度，因为严格的单色波在空间和时间的延续上都是无限的, 是一种理想的极限情况, 实际上并不存在，所以相速度没有具体的物理意义，它可以超过光速.前面第3点的错误之处在于在利用波速公式计算波长时，将粒子运动速度(即群速度)代入计算，此处应以相速度代入.

这样才可以避开德布罗意动量公式，用能量公式正确求解波长.

此过程中波速以光速代入计算也是错误的.

(5)对这道考题的解答考生表现出的两种错误

一是将逸出光电子的能量误认为是光电子的动能，本题正好是在光电效应的背景下，考生对最大初动能概念有深刻的印象，因而混淆了光电子最大初动能和光电子能量的概念，这样的错误能够被理解，也好纠正，也反映了我们在教学中的不足.另一是误将光电子的运动速度当成其对应的物质波的相速度，由波速与波长、频率的关系，通过频率求物质波的波长.我们必须正视这样的错误，这样的错误纠正起来比较困难，德布罗意公式的物理意义并不要求学生弄清楚，对高中学生来说，弄清楚也有一定的难度，最低要求是教学中提醒一下：粒子的运动速度并不是其对应的物质波的波速，所以与粒子对应的物质波的频率和波长需要分别计算.如果学生有强烈的好奇心，再加上条件许可，完全可以做进一步的了解.

这道考题，通过物质波的能量和动量的概念，考查学生对物质波、波粒二象性的认识程度.这提醒我们，物理课堂应进一步增进学生对近代物理知识的了解，拓宽学生的视野，提高学生的科学素养，在简略认识了远离我们实际经验的相对论之外，还应积极去认识另一个也是远离我们日常经验之外的世界——亚原子世界.

参 考 文 献

1赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程 力学(第2版). 北京：高等教育出版社，2012

2谢礼平.关于“时间和空间的相对性”的几个问答.物理教师，2014(8)：31～33

3吕爱君. 是相速度还是群速度. 物理与工程，2002(6)：14～16