极限思想在数学中的应用

【摘要】极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到结果。在数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，衔接高等数学，起到了承上启下的作用。

【关键词】极限 数学 函数

【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）12-0133-01

1.极限思想在函数当中的应用

在经济类题目中真正需要用到的具体的极限定理和公式，实际上并不很多，但所受到的数学训练，所领会到的极限思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用。

在经济类题目中，用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量 y 对另一个经济变量x的变化。平均概念表示y在自变量x的某一个范围内的平均值。显然， 平均值随 x 的范围不同而不同。边际概念表示当 x 的改变量Δx趋于0时，y的相应改变量 Δy与Δx比值Δy/Δx的变化， 即当 x 在某一给定值附近有微小变化时，y的瞬时变化。经常用到的概念有边际成本、边际收入、边际利润、边际替代率等。如边际替代率是指在维持效用水平或满足程度不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费时所放弃的另一种商品的消费数。

根据边际替代率的定义求极限 （无限变化得精确值）。当逐渐变小， 这是一个量变过程，但是量变达到一定界限， 平均边际替代率问题向某点边际替代率飞跃发生质变， 由此可知， 为了求出某一点的量（某一点的边际替代率）， 用在局部 “以匀代非匀”求得这个量的近似值， 然后再通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡。在这里， 使“匀”与 “非匀”转化的条件是取极限，不取极限就不能转化。这是极限解决边际问题的基本思想方法。

2.应用极限思想解决无限的问题

所谓无限的问题是指人们需要求取一个数值，而这个数值求取的过程非常繁琐，人们如果穷举这个范围内所有的数值将会非常困难，但是如果人们有无限的思想，则可以就用无限接近的思想给出这个范围内最大的一个极限和一个最小的极限，则人们不需要穷举范围内所有的数值，直接可以判断该范围。

3.应用极限思想解决逼近的问题

所谓逼近的问题是指人们遇到某种问题时，需要了解它的取值，然而这种取值是没有精确答案的，人们于是使用极限的思想，尽可能取出与该精准值最接近的一个答案，它即为该问题的最终答案，这种逼近的问题能帮助人们尽可能的解决不可能解决的问题。

4.应用极限思想解决决策的问题

所谓的概述问题是指人们在统计或计算中，需要了解某种数值，这种数值人们如果要精准的计算，常常会得出不必要的循环小数，而在实践生活中人们不需要特别精准的答案，只需要一个大概的数值帮助自己决策，因此可以用极限的思想把过于复杂的计算与统计全部省略，得到人们需要的大概数字。例如，在讲算法初步时，教师可以引导学生思考，极限思想能帮人们化繁为简，解决实践生活中的问题，实际上那位古老的卖羊故事即利用极限思想完成该类问题。

5.结论

从以上的极限思想应用中可以看到，实际上极限思想拥有以下几种思想：无穷大的思想，它是指用一种数学方式描述出一种事物的趋势，人们可能不了解这件事情的极限，但是人们可以掌握该事物的趋势，并在该趋势范围内选取人们需要的一个范围，它能避免人们无穷列举的问题；无穷小的思想，它是指人们需要精准的掌握一件事物，然而这件事物几乎不可能让人们精准的了解或描述，因此人们用无限小的思想尽可能地选取最接近于精准答案的那个答案，它能避免人们无法精神描述的问题；辅助决策的思想，这是指人们在决策一件事物时，人们有时无法作准最精密无误的决策，然而人们却又必须解决决策的问题，所以人们寻找一个能帮助自己决策的答案，这个答案能接近于人们需要的这个目标。微积分是目前大专学生需要学习的数学知识，学生在学习微积分时，常常会感觉到微积分知识复杂，他们觉得学习那么复杂的事物不知道能解决什么问题，教师要引导学生理解到无限思想应用的方法，当学生理解到无限思想的巨大用处时，就会对学生微积分知识产生兴趣。

参考文献：

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[3]巴尼特.金融数学[M]. 机械工业出版社，2006

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[5]王达开.两个重要极限应用探讨[J].辽宁教育行政学院学报，2004，（2）：71～72

作者简介：

王志攀（1982-），女，安徽淮北人，应用数学硕士研究生，现任教于福建农业职业技术学院，讲师。毕业院校：广西大学；研究方向：应用数学。