识、观、作、用

笔者在高三复习教学中发现，尽管数形结合思想学生早已耳熟能详，也深谙其义，但对它“具体有哪些应用？怎么用？”却不甚了然，以至在面对具体问题时依旧难以入手究其原因，笔者认为是缺少对其应用场合的归纳以及操作层面的指导本文下面以近几年的高考、模考试题为例，谈谈数形结合思想在函数中的应用.

识图

“识图”是指在给出函数解析式时，如何利用函数的性质匹配其图象.函数的性质有定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、极限等，根据它们，即可了解图象的大致走势与分布，再结合选择支，不难找出正确答案.

观图

“观图”是指在给出函数图象时，如何利用图象提供的信息，推测函数的性质，其着眼点通常有：图象与两轴交点的位置、图象在两轴上的投影区间（体现函数的定义域和值域），单调性、对称性、极值点、渐近线等，

点评对分式函数而言.使分母为零的x是函数的竖直渐近线：当分母趋于无穷（正无穷或负无穷）时，若函数值趋于某一常数，则该常数为函数的水平渐近线，故此函数存在两条渐近线：x=-c和y=0，由此也可确定a<0（例如，观图可知，当

时， 又分母恒正，所以a只能小于零）.

作图

“作图”是指根据函数的解析式（若没有解析式，则根据函数的性质），而描出函数大致图象的过程.作图是数学的一项基本功，更是数形结合的前提，在某些函数问题中（如函数的零点相关问题），正确的作图基本就意味着解题的成功.但如何进行作图？其步骤为：（1）根据函数的类型，先作其基本函数图象；（2）再看此函数可由此基本函数经过怎样的变换（平移、伸缩、对称（包括翻折）等）而得.因此，首先要对十类基本初等函数（一次、二次、正比例、反比例、指数、对数、幂、三角、“对勾”、“蝴蝶”）的图象了然于胸，其次，还需熟悉函数图象的种种变换.具备上述能力，方可称为“能作图”，

点评 函数 的作图方法为：先作 图象，将其图象向下平移2个单位（或图象不动，将坐标系向上平移2个单位），再将所得图象在x轴下方的部分关于x轴翻折即得.提醒：此题在作图时极易忽略图象存在渐近线（因为当 时， ，所以图象存在渐近线y=2），从而导致解题错误，

解由函数与方程思想知，函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，即方程b=f（x）+f（2-x）恰有4根，也即直线y=6与函数h（x）=f（x）+f（2-x）的图象恰，有4个交点.易知h（x）=h（2-x）（关键点），所以h（x）图象关于直线x=l对称.故可先考虑h（x）在x>l时的图象，然后由对称性得到其整体图象.易x>l时， ，所以h（x）的大致图象如图4，观察图象易知，当 时，直线y=b与函数y=h（x）图象有4个不同的交点，故选D.

点评上述解法在作h（x）图象时，首先考虑h（x）的性质，然后作图，此举大大简化了作图的难度，值得细细体会.

用图

“用图”是指如何利用函数的图象进行解题.通常体现在用图象解不等式、用图象判断函数零点的个数以及用图象自身的性质（如对称性）进行解题等方面，尤其在函数零点相关问题中，“用图”的具体方法常和函数与方程思想密切相关，常会用到如下结论：

点评不等式f（x）≥g（x）的解集为：同一坐标系下，函数y=f（x）在y=g（x）上方的图象在x轴上的投影区间（包括交点）.本题若用代数方法，需求出函数f（x）的解析式，然后解两个不等式，最后求并集，这样既麻烦又容易出错.

（二）先作出方程（2）两边函数y=f（t）与y=0的图象，观察其交点横坐标t的值，将此t的值代入方程（1），再作出方程（1）两边函数y=g（x）与y=t的图象，观察其交点情况，从而数分别作图，并观察其交点”，此举在函数零点问题中至关重要，是函数与方程思想的精髓，

笔者常有这样的体会：许多数学问题与“形”结合起来，问题就容易理解且印象深刻；借助“形”的形象思维，问题常可化难为易、巧妙解决.

然而，实践证明，如果不能解决数形结合在操作层面的“技术”问题，那么尽管数形结合有诸多好处，它也不过是教师口中的“漂亮”词藻，而学生却难以真正的心领神会、运用自如.本文通过“识图、观图、作图、用图”四个方面阐述了数形结合思想在操作层面的具体应用，希望能对大家运用数形结合思想解决函数问题有所帮助.