等差、等比数列及其前n项和

数列是高中数学的主干知识，它既有函数特征，又独具递推性，因此历来是高考的热点内容，而等差、等比数列作为高中数学中着重介绍的两类基本数列，更是重点考查的对象.纵观2013年各地高考试题，数列部分的考查总体呈现难度略降趋势，注重基础知识，淡化繁难技巧.

重点难点

这部分内容由等差（比）数列的定义、通项公式及其前n项和公式组成，主要考查运算能力，公式和性质的灵活运用能力以及递推转化能力.在客观题中，突出考查基本量（首项、公差或公比、通项公式、前n项和）的求解；在解答题中，常以等差（比）数列（或可以化归为等差（比）数列的关系式）为背景，重点考查其证明、通项、求和以及与函数、方程、不等式等其他知识的交汇问题，难度一般为中等或中等偏下.

重点：理解并掌握等差（比）数列的定义，能判断或证明等差（比）数列；熟记等差（比）数列的通项、求和及其变形公式和相关性质，

难点：等差（比）数列的定义的理解和判断；等差（比）数列的通项、求和及其变形公式和相关性质的记忆与灵活运用，

方法突破

1.等差（比）数列及其前n项和的基本解题思路

（1）方程法：将a_n与S_n统一表示为a₁和d（或q）的方程（组），以求其基本量（五个基本量中，通常先求出a₁和d（或q），然后再求其他的基本量）.

（2）函数法：利用函数的思想解决数列问题，如等差数列的通项、求和公式可分别表示成a_n=kn+b（一次函数），S_n=An²+Bn（不带常数项的二次函数） 等.

（3）性质法：运用等差（比）数列的相关性质解题，常可整体代换，回避单个求值.较为常用的如：若a，b，c成等差，则2b=a+c；若a，b，c成等比，则b²=ac；若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q（或a_ma_n=a_pa_q）（n，m，p， ），S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…仍成等差（比）数列，需要指出的是，等差、等比数列的性质具有对称性，因此可用类比的思想理解和记忆.等差数列和等比数列可以相互转化，等比数列的性质可以用等差数列的性质来推导、理解和记忆.

2.等差（比）数列及其前n项和的基本解题策略

（1）通项公式的拓展应用：若数列{a_n}为等差（比）数列，则a_n=a_m+（n-m）d（a_n=a_mq^n-m）.

（2）等差数列前n项和公式的变式应用： ，其中

表示等差数列的中间项，当项数为奇数时表示数列的中间一项：当项数为偶数时表示与首尾对称两项的算术平均值.例如：已知an=t，则

（3）对等差（比）数列的定义的理解不拘泥于 可以是 等.

典例精讲

思索 这是高考等差（比）数列中最基本的一类题型（求基本量）.通常用方程法求解，但用等差（比）数列的性质进行转化常常更为简便，因此，解题时首先要看能否利用性质，如若不能，再考虑普通方法.

思索 本题考查等差数列前n项和s_n的最值的处理方法.（1）由前面所述解题策略第四点中的分界法可求得，亦可用二次函数的方法来处理.（2）由等差数列基本量的关系可求得nS_n的表达式，可利用导数的方法求解最值，这是一道比较新颖的数列的最值问题，充分体现了数列与函数的联系和差别.

思索 本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，等差数列的性质以及运算求解能力，解题思路是：（1）将S₃=a₅，S₅=25转化为首项a₁和公差d的方程组，解出首项和公差，进而写出数列{a_n}的通项公式；（2）先由{a_n}的通项公式求出a_p和a_q，再由b_ap=p，b_aq=q求出等差数列{b_n}的首项和公差，将其代入等差数列的求和公式即可.

思索 （l）证明数列为等差（比）数列是高考中的常见题型，通常由需要被证明数列的“暗示”，将关系式进行转化，利用定义法或中项法证明.（2）题中涉及离散型数列的单调性，由单调性求最值.

1.若等差数列{a_n}的前6项和为23，前9项和为57，则数列{a_n}的前n项和s_n=____.

（1）求a₂的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式.

4.已知正项数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15.

（1）求证：数列{ }是等差数列；

（2）求数列、{a_n}，{b_n}的通项公式；