PTW整环的t-全变换与t-平坦扩环

PTW整环的t-全变换与t-平坦扩环

万吉湘1，徐龙玉2

(1.绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川绵阳621000;2.西南科技大学理学院，四川绵阳621010)

摘要：利用素理想在星型算子研究中的特殊性，引入t-全变换的概念，对PTW整环进行了讨论，证明了R是PTW的SM整环，则Rtg=K.给出了PTW整环与其t-平坦扩环也是PTW整环的等价描述，进一步对PTW整环进行了探讨.

关键词：PTW整环； t-全变换；t-平坦扩环

收稿日期：2015-05-20

基金项目：绵阳师范学院2014年度自然科学重点项目“乘法理想理论中的Gorenstein同调法”(2014A04)

作者简介：万吉湘(1981—)，女，四川泸州人.讲师，主要从事交换代数与同调代数研究.

中图分类号：O153.3文献标志码：A

本文恒设R是整环，K为其商域，R的扩环T是指T为R-模，且R⊆T⊆K.对于K中的任意R模A，令

F(R)上的映射I→I,I→Iv,I→It,I→Iw分别称为R的d-,v-,t-,w-算子.

在前人的研究中，素理想的特殊性在星型算子的研究中没有得到体现.2006年，文[1-3]中提出了PTW整环的概念，即R是PTW整环当且仅当R的任何素w-理想是t-理想，并说明了PTW是TW整环的推广.本文在此基础上对PTW整环做进一步的研究，讨论PTW整环R与其t-全变换、t-平坦扩环之间的关系.

定义3[5]所谓t-平坦扩环T是指T是整环R的扩环，且对T中任意极大t-理想Q，TQ=RQ∩R.

在[5]中指出T是R的t-平坦扩环当且仅当存在广义乘法集Σ，使得T=RΣ，且对任意A∈Σ，(AT)t1=T.

定理1若R是Mori整环，则Rwg不是平坦R-模.

证明：R是Mori整环，由[4]，Rwg是Mori整环.对R中任意极大w-理想A，我们说(ARwg)-1=Rwg.事实上，Rwg⊆(ARwg)-1显然.现证(ARwg)-1⊆Rwg.令x∈(ARwg)-1，则xARwg⊆Rwg，从而xA⊆Rwg.由R是Mori整环，存在有限生成理想B⊆A，使得Bv=Av，故xB⊆Rwg.由于B有限生成，故存在极大w-理想C1,…,Cn，使得xAC1…Cn⊆xAvC1…Cn=xBvC1…Cn⊆(xBC1…Cn)v⊆R.从而x∈Rwg.故Rwg=(ARwg)-1.

若Rwg是平坦R-模，A为R的极大w-理想，从而是t-理想，则ARwg是Rwg的t-理想.下面我们证ARwg是极大w-理想.若否，则存在Rwg的极大w-理想Q，使得ARwg⊆Q，从而Qv1=Rwg.Rwg是Mori整环，则Q是v-理想，故矛盾.因此ARwg是极大w-理想，从而与(ARwg)-1=Rwg矛盾.故Rwg不是平坦R-模.

注：根据定理1进一步设R是SM整环，R是PTW整环当且仅当若扩环T是平坦R-模，且T⊂Rwg，则T是PTW整环.

证明：由定义3即得.

定理2Rtg是R的w-扩环.

证明：令x∈(Rtg)w，则存在J∈GV(R)，使得Jx⊆Rtg.J有限生成，于是存在素t-理想M1,…,Mk，使得M1…MkJx⊆R.由Jw=R，我们有M1…Mkx⊆(M1…Mkx)w⊆R.故x∈Rtg，从而Rtg=(Rtg)w，Rtg是R的w-扩环.

引理1[6]设R是SM整环，I是R的w-理想，则I上只有有限个极小素理想，且都可以表示为(I：x)，其中x∈R-I.

定理3R是PTW的SM整环，则Rtg=K.

((M1…Mk)n)w=((I1…Ik)n)w⊆Iw=I，

因此(M1…Mk)n⊆I=(R:x)，x∈Rtg，从而Rtg=K.

推论2R是SM整环，w-dim(R)=1，则Rtg=K.

定理4R为v-凝聚整环，则以下等价.

(1) R是PTW整环.

(2)若t-平坦扩环T为v-凝聚整环，则T也是PTW整环.

(3)若t-平坦扩环T是平坦R-模，则T是PTW整环.

证明：根据定理3以及t-平坦扩环的定义即可证得.

参考文献：

[1] 万吉湘, 王芳贵.PTW整环的刻画[J].四川师范大学学报：自然科学版, 2006(4):392-396 .

[2] 万吉湘, 王芳贵. PT整环的研究[J].四川师范大学学报：自然科学版, 2010(1):27-31.

[3] 万吉湘, 王芳贵. 关于PTW整环的多项式环[J].绵阳师范学院学报：自然科学版, 2010(11):15-17 .

[4] M．H．Park．OnoverringsofStrongMoridomains[J]．Pure． Appl．Algebra, 2002(1):79-85．

[5] D.J.Kwak，Y.S.Park.Ont-flatoverrings[J].Chinese Journal of Mathematics, 1995(1) :17-24.

[6] Wang Fanggui, R.L.McCasland.OnStrongMoridomains[J].J.Pure.Appl.Algebra, 1999(6):155-165.

[责任编辑范藻]

The t-global Transform and t-flat Overring of PTW Domain

WAN Jixiang1，XU Longyu2

(1. Mathematics and Computer Science School of Mianyang Normal University, Mianyang Sichuan 621000;

2. Science College of Southwest University of Science and Technology, Mianyang Sichuan 621010, China)

Abstract:In this paper, by the particularity of prime ideal in study of star operator, the concept of t-global transform is imported to further discuss PTW domain. We prove that if R is SM domain of PTW, then Rtg=K. Moreover, we show when a ring is PTW domain if and only if its t-flat overring is also PTW domain. So the theories about PTW domain are enriched consumedly.

Key words:PTW domain; t-global transform; t-flat overring