GS算法在多输入多输出雷达信号集设计中的应用

GS算法在多输入多输出雷达信号集设计中的应用

杜晓林苏涛

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室,陕西 西安 710071)

摘要为了高效地设计出性能良好的多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷达正交相位编码信号集,提出一种改进的Gerchberg-Saxton(GS)算法，将最小化信号集旁瓣能量的代价函数转化为适合求解的极小化问题;将原始GS算法扩展至多维,并改进其物面和频谱面的约束条件,以适应文中优化问题的求解;利用改进的GS算法迭代优化设计出信号集.仿真实验表明:该算法可以有效改善所得信号集的积分旁瓣和相关性能．

关键词雷达;信号处理;非周期相关函数;Gerchberg-Saxton算法;信号集

中图分类号TN957

文献标志码A

文章编号1005-0388(2015)04-0686-07

AbstractIn order to efficiently design good orthogonal phase coding signals for MIMO radar, an improved Gerchberg-Saxton(GS) algorithm is proposed. Firstly, a cost function minimizing the sidelobe energy of the signal set is constructed, and it is transformed into a easy-to-solve minimization problem. Then the original GS algorithm is extended to multi-dimensional form, and the object-domain and Fourier-domain constraints are improved accordingly for the optimization problem in this paper. Finally, the signal set is obtained by implementing the improved GS algorithm. Simulation results show that the proposed algorithm can improve the integrated sidelobes and the correlation property of the resulting waveform.

收稿日期：2014-08-23

作者简介

Signal sets design for MIMO radar via GS algorithm

DU XiaolinSU Tao

(NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,Xidian

University,Xi’anShaanxi710071,China)

Key wordsradar; signal processing; aperiodic correlation; Gerchberg-Saxton algorithm; signal sets

资助项目: 国家自然科学基金青年科学基金(61001204)； 中央高校基本科研业务费专向资金(JY0000902020)

联系人： 杜晓林 E-mail：duxiaolin168@163.com

引言

多输入多输出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷达是一种新体制雷达,其特点是具有多个发射天线和接收天线.天线阵列在布置上的灵活性以及发射单元发射波形的多样性,使得MIMO雷达具有空间分集和波形分集能力.空间分集可以克服目标的闪烁效应从而提高雷达对目标的探测性能;而波形分集可以提升雷达的目标检测、参数估计、目标识别和跟踪等性能.相比传统的雷达,MIMO雷达具有较大的优势[1-5].

为了抑制不同目标回波的相互干扰以及从回波中提取独立的目标信息,MIMO雷达的发射信号一般采用正交信号集.文献[6]和文献[7]建立了极小化信号集旁瓣能量的代价函数,分别采用混合模拟退火算法和混合遗传算法设计了非周期相关性较好的正交信号集,但是由于算法本身的限制,非周期自相关峰值旁瓣(Autocorrelation Sidelobe Peak, ASP)、非周期互相关峰值(Crosscorrelation Peak, CP)和积分旁瓣比(Integrated Sidelobe Ratio, ISR)仍然较高;文献[8]以极小化包含多普勒信息的信号集峰值旁瓣电平函数作为准则,利用自适应克隆选择算法设计了一组具有较好多普勒容忍性的信号集,但其非周期相关性和积分旁瓣比并没有得到改善.此外,文献[6-8]所用算法的复杂度较大,所得信号集的码长受到了一定限制,计算存储量较大,且求解信号集所需的时间较长.

针对上述问题,本文将改进的Gerchberg-Saxton(GS)算法[9-13]应用在MIMO雷达正交相位编码信号集设计中.建立最小化信号集旁瓣能量的代价函数,并将其转化为适合求解的极小化问题;将原始GS算法扩展至多维,并改进其物面和频谱面的约束条件,以适应本文优化问题的求解;最后利用改进的GS算法迭代优化设计出信号集.

1问题描述

假定一个MIMO雷达系统具有M个发射天线,每个天线发射码长为N的相位编码信号.信号集可以表示为

S=[s1,s2,…,sM]N×M=[y1,y2,…,yN]Τ.

(1)

式中:(·)T表示转置; sm=[sm(1),sm(2),…,sm(N)]T是第m个天线的发射信号,yn=[s1(n),s2(n),…,sM(n)]T为M个天线发射信号的第n个码元,sm(n)=ejφm(n) ,相位φm(n)的取值范围是0≤φm(n)≤2π[6-8].

sm1(n)与sm2(n)的非周期互相关函数定义为

k=0,…,N-1.

(2)

式中,(·)*表示复共轭.当m1=m2时,式(2)变为sm1(n)的非周期自相关函数[6-8].

进而M×M维的信号协方差矩阵可表示为

(3)

式中,(·)H表示复共轭转置.

完全正交的信号集需满足如下条件

(4)

式中, I为M×M维的单位矩阵.

为了设计正交信号集,建立最小化信号集相关旁瓣能量的代价函数[6-7]为

(5)

式中下标F表示矩阵的F范数.本文要解决的问题就是通过极小化式(5)中的代价函数,得到正交相位编码信号集S.

2基于GS算法的正交相位编码信号设计

2.1代价函数的转化

由于式(5)中的代价函数是关于变量S的4次函数,利用优化算法求解高次的极小化问题较为复杂,故本文将代价函数先转换成频域内的等价形式,经过化简,最终转化为较容易求解的2次形式.

(6)

由式(4)和式(6)可得

E=0⟺S(ω)=I .

(7)

即代价函数E=0与S(ω)=I是等价的.

式(5)可以转化为频域内的等价形式为

(8)

(9)

式中下标2表示向量的2范数.为了化简代价函数ε,首先求式(9)关于z(ωk)的解.忽略与变量无关的常数可得

(10)

s.t. |sm(n)|=1,m=1,…,M,n=1,…,N;

‖ak‖2=1,k=1,…,2N.

(11)

可以看出式(11)中的极小化函数为变量S的2次函数.

(12)

2.2改进的GS算法求解极小化问题

针对式(11)和式(12)中的极小化问题,利用改进的GS算法进行求解.对原始GS算法进行概述,阐述改进的GS算法对本文问题的求解过程.

GS算法是一种较为著名的相位恢复算法.相位恢复是一种由可测量的光场振幅或强度确定光场相位分布的方法[9-13].该算法的核心思想是在物面(输入面)和频谱面(输出面)之间交替进行傅里叶变换,并分别在两个平面上施加已知的约束限制条件,最大限度地恢复物面上的相位分布.GS算法具有收敛速度快、设计灵活、通用性强等优点.算法原理流程图如图1所示[9-10].

图1　GS算法原理框图

按照图1所示的步骤进行迭代,若结果满足收敛准则,则迭代过程结束,否则下一次迭代继续进行,直到满足收敛准则为止.输出的图像为所预先设定的输出振幅图像,而在输入平面上最终迭代所得的相位信息φ即为所需的相位分布.

原始GS算法是物面和频谱面的一维变换,而本文中的极小化问题是多维的,故先将GS算法扩展至多维,并将其物面和频谱面的约束条件进行改进,以适应本文优化问题的求解.

对式(11)的求解过程可以分为以下四个迭代步骤:

1) 求频谱面输出函数Q′

原始GS算法是针对一维的物面和频谱面的波函数进行交替傅里叶变换和傅里叶逆变换,从而实现相位的恢复.而针对式(11)中的问题,所求发射信号集S是N×M维形式的矩阵,如果利用GS算法求解该问题,须首先将其扩展至多维.

2) 频谱面的幅度约束

(13)

则有

(14)

由式(13)和式(14)得,式(11)中‖ak‖2=1的约束条件成立.从式(14)还可以看出,频谱面的幅度约束区别于原始GS算法简单的幅度代入操作,通过限定不同DFT通道系数的平方和为1使优化问题中的约束条件成立,改进的约束条件更适合求解本文问题.

3) 求物面输入函数S′

对频谱面函数Q(Q=[a1,a2,…,a2N]T)的每一列进行逆离散傅里叶变换(Inverse Discrete Fourier Transfomr, IDFT),即DHQ,可得物面输入函数S′.注意到,此步骤中的IDFT同步骤1中的DFT均为M维运算.

4) 物面的幅度约束

S=J⊙exp(jarg(S′)).

(15)

式中,⊙表示Hadamard积.

按照步骤1)到4)进行迭代操作,直到两次迭代之间的误差小于预定值ε为

‖S(i)-S(i+1)‖F<ε.

(16)

式中,S(i)为第i次迭代所得信号集.

综上所述,算法的流程图如图2所示.

图2　本文算法的流程图

3仿真实验

3.1性能指标

为了分析本文信号集的性能,给出信号集的ASP、CP和ISR[14-16]的定义

由式(2)给出信号集M个ASP的定义

(17)

其平均值描述了整个信号集的脉冲压缩性能.并且定义信号集M(M-1)/2个CP为

max|(rm1,m2(n))/N|,

m1≠m2,m1,m2=1,…,M.

(18)

其平均值代表了信号之间的相互干扰程度.

信号集的ISR定义为信号集的积分旁瓣电平(Integrated Sidelobe Level, ISL)[15-16]与其主瓣能量的比值,即

(19)

3.2性能分析

本文算法的DFT和IDFT操作是基于快速傅里叶变换和逆快速傅里叶变换完成,故算法的复杂度较低,优化耗时较短,当信号集的码长较长时仍然适用,如N～104.而文献[6]所用模拟退火和贪心算法的组合算法、文献[7]所用遗传算法和贪心算法的组合算法以及文献[8]所用自适应克隆选择算法的复杂度都较高,优化耗时较长,计算存储量较大,仅适用于信号集码长较短的情况.

在诸如合成孔径雷达成像等应用中,发射信号的序列长度较长.而文献[6-8]算法无法产生码长较长的信号集,故对于码长较长的信号集,通过随机相位序列和无线通信系统中常用的正交Hadamard序列与本文序列进行对比,来说明其先进性[17].虽然正交Hadamard序列的产生方法简单,但是正交性却很好,它在通信领域得到了广泛的应用.利用伪随机噪声序列对正交Hadamard序列进行扰码操作,进一步降低了正交Hadamard序列的相关旁瓣.图3、图4和图5分别给出了本文序列和Hadamard序列以及随机相位序列的平均ASP、平均CP和ISR的对比(M=3, N=256,512,…,819 2).由图3、图4和图5可以看出,对于码长较长的情形,本文算法所得信号集的平均ASP、平均CP和ISR比Hadamard序列和随机相位序列要好.

图3　平均ASP的对比

图4　平均CP的对比

图5　ISR的对比

对于码长较短的信号集的性能分析,选取大小为M=3, N=128的信号集进行对比.表1给出了本文与文献[6-8]中信号集的平均ASP、平均CP和ISR的对比.其中数据为100次蒙特卡洛实验的最好结果,而文献[6-8]数据为对应文献中所列出的最好结果.由表1可得信号集的平均ASP、平均CP和ISR均优于文献[6-8],这表明信号集的正交性能较好,相关函数的峰值旁瓣较低,而且信号集的相关旁瓣能量较小,有利于接收端的匹配滤波处理.这也同时验证了本算法的有效性.

算法的执行效率也是衡量算法优劣的一个重要指标.表2给出了本文算法和文献[6-8]算法的执行时间对比.表2所得时间均为信号集大小为M=3, N=128时,执行10次算法所需时间的平均值.为了使算法执行时间对比具有说服力,仅列出时间的数量级(计算机硬件条件为:Pentium(R)双核处理器,主频是2.50GHz,内存2GB.采用Matlab语言编写程序).由表2可得,本文算法在执行效率上较文献[6-8]算法具有一定的优势,这为信号集的在线设计提供了可靠的保障.

表1　本文与文献[6-8]信号集平均ASP、

表2　本文算法与文献[6-8]算法的执行时间对比

文献[18]推导了阵元数为M,码长为N的信号集的ISL下界为

ISL≥N2M(M-1)=BISL

(20)

表3给出了信号集和随机相位序列的ISL与ISL下界的比较.由表3得,对于不同大小的信号集,信号集的ISL均接近于ISL的下界,而随机相位序列的ISL则远远高于ISL的下界.

表3　本文信号集和随机相位序列的

当阵元数M设定为1时,信号集变为单个序列.利用算法设计正交信号集的问题就变为设计性能良好的单个序列的问题,即需要设计自相关峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平均较低的单个序列.图6和图7分别给出了执行一次算法所得单个序列与m序列、p4序列和随机相位序列的自相关峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平的对比.由图6和图7得,本文序列比m序列、p4序列和随机相位序列的自相关峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平要低,随机相位序列的自相关峰值旁瓣电平和积分旁瓣电平最高,p4序列比m序列的要低.而且,随着码长的增加,所有序列的自相关峰值旁瓣电平逐渐减小,积分旁瓣电平逐渐增大.

图8给出了码长N固定为128时,算法所得信号集平均ASP和平均CP随阵元数M的变化规律.图9为阵元数M固定为4时,算法所得信号集平均ASP和平均CP随码长N的变化规律.

图6　本文单个序列和其他序列峰值旁瓣电平的对比

图7　本文单个序列和其他序列积分旁瓣电平的对比

图8　阵元数M对平均ASP和平均CP的影响

从图8可以看出,当码长固定时,信号集平均ASP和平均CP随阵元数的增加而增大,并且当阵元数增大到一定程度时,平均ASP和平均CP趋于平稳.由图9可得,当阵元数固定时,信号集平均ASP和平均CP与log2N近似成负线性函数关系.

图9　码长N对平均ASP和平均CP的影响

4结论

针对MIMO雷达正交相位编码信号设计算法效率较低、所得信号集相关性较差和积分旁瓣较高的问题,本文提出一种改进的GS算法.建立最小化信号集旁瓣能量的代价函数,并将其转化为适合求解的极小化问题;将原始GS算法扩展至多维,并改进其物面和频谱面的约束条件,以适应本文优化问题的求解;最后，利用改进的GS算法迭代优化设计出信号集.仿真结果表明了本文算法的执行效率和所得信号集的性能相比已有算法具有一定的优势.但是改进的GS算法增加了原始算法的维度和复杂度,这对算法的实时实现不利,如何进一步提高算法的效率将是下一步工作的重点.

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杜晓林(1985-),男,山东人,西安电子科技大学信号与信息处理专业博士研究生,主要研究方向为MIMO雷达发射波形设计.

苏涛(1968-),男,陕西人,工学博士,西安电子科技大学教授,博士生导师,主要从事雷达系统设计、雷达信号处理、高速实时信号处理及认知雷达.

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