数形结合解决化学问题

戴拓苏

数学是一门基础工具学科，因而学以致用是学习数学的目的之一。化学是以实验为基础的实验学科，但实际上数学知识在化学中也有着广泛的应用。中学化学中虽然计算不是最为重要的内容，但在高考中也同样占有比较大的比重。一般来说，每年的高考化学题中计算占了试卷总分的18%左右。如果能将数学知识巧妙地结合到化学的运算中来，可以少犯错误，甚至不犯错误。本文就化学知识结合数形巧妙应用到化学的问题解决中的范例进行讨论，以期能在化学学习中进行数学建模而有助于解决化学问题。

一、数形结合防止漏解

例1现有100 mL 2 mol/L的氯化铝溶液，向其中加入1 mol/L的氢氧化钠溶液，最终生成的沉淀质量为7.8 g，试求所加氢氧化钠溶液的体积为 。

解析本题是氯化铝与氢氧化钠反应的计算题，学生解决此题并不会感到困难。首先写出化学方程式：

AlCl3+3NaOHAl（OH）3↓+3NaCl

由化学方程式即可计算而得到如果要生成氢氧化铝的沉淀7.8 g，即0.1 mol的氢氧化铝，则加入的氢氧化钠的物质的量为0.3 mol，根据氢氧化钠的溶液浓度为1 mol/L，所以即可得加入的氢氧化钠的体积应为300 mL。“得来全不费功夫”，学生会沉浸在问题解决的喜悦中。殊不知，其实本题中出现了漏解！由于最终需得的氢氧化铝沉淀不是反应中得到的最大量沉淀，再因为氢氧化铝是一种两性的氢氧化物，它还可溶于氢氧化钠溶液中，所以除了上述的一个可能的解以外，还会有另一种可能，即先加入氢氧化钠溶液至氯化铝完全沉淀而得到最大量的沉淀，然后再加入过量的氢氧化钠溶液，使得生成的氢氧化铝沉淀发生部分溶解而得到剩余的沉淀为7.8 g。即先根据化学方程式：

AlCl3+3NaOHAl（OH）3↓+3NaCl

计算得到将所有的氯化铝全部转化成氢氧化铝沉淀，得到的氢氧化铝沉淀为0.2 mol，加入的氢氧化钠的物质的量为0.6 mol，而题中要求得到的沉淀为7.8 g，即0.1 mol沉淀，所以还需要向其中加入氢氧化钠溶液将多出的0.1 mol氢氧化铝沉淀溶解，发生反应的化学方程式为：

Al（OH）3+NaOHNaAlO2+2H2O

从而可得将多余的0.1 mol氢氧化铝溶解还需加入氢氧化钠0.1 mol，则可得本题的另一解需要加入氢氧化钠的物质的量为0.7 mol，即加入700 mL的1 mol/L氢氧化钠溶液。

而如果本题在解决的过程中，结合氯化铝与氢氧化钠反应过程中沉淀的变化规律，将其所得到的数量关系反映到一个图形模型中去，则

可以有效地防止漏解。即，先将“100 mL 2 mol/L的氯化铝溶液，向其中加入1 mol/L的氢氧化钠溶液直至过量”中的氢氧化钠溶液的体积设为自变量，而氢氧化铝沉淀设为应变量，做出图像，如图1所示。由图中所示可以看出，得到7.8 g氢氧化铝沉淀分别所加的氢氧化钠为a mL、b mL两种情况；再由图形中的比例特征也不难可以得到a=300 mL，b=700 mL。

图1

由以上两种解决问题的方法不难看出，应用数形结合的方法可以有效地防止本题中的漏解现象。其实在化学中这样的问题也有很多，如将CO2或SO2通入到澄清石灰水中时，得到沉淀的质量与CO2或SO2的关系问题、在偏铝酸钠溶液中加入盐酸时，得到的沉淀质量与加入盐酸的体积或物质的量关系问题等等，都可以通过数形结合的方法有效地防止漏解。

二、数形结合防止错解

例2实验室制备氯气除了可以用二氧化锰与浓盐酸在加热时反应获得氯气之外，还有其他许多的方法可以获得，其中的一种方法是用氯酸钾与浓盐酸反应也可以获得氯气，其反应的化学方程式为：

KClO3+6HCl3Cl2↑+KCl+3H2O

现用该方法制备氯气标况下的体积为4.48 L，则在反应中转移的电子数为 ，被氧化的HCl是 mol。

解析本题是一个氧化还原反应的问题。在氧化还原反应中存在着一类发生在不同价态的同种元素间的氧化还原反应，这类氧化还原反应发生的规则是“同种元素间的氧化还原反应，元素化合价不能发生变化的交叉”。但这对学生来说是一个难点，比如我们都知道SO2具有还原性，浓硫酸具有氧化性，但是浓硫酸却不能将SO2氧化，所以可以用浓硫酸与亚硫酸钠反应制备SO2，这就是因为在浓硫酸中的硫元素的化合价是+6价，SO2中的硫元素化合价是+4价，在这两种价态间不存在+5价，所以两者不能发生氧化还原反应，因为一旦发生反应，势必化合价的变化一定会发生交叉。本题中也是一个发生在同一种元素间的氧化还原反应，学生在分析错成氯酸钾中氯化合价降低到-1价，而浓盐酸中的氯元素化合价升高到0价，这样的分析也显得很简洁，很快也就可以得到在反应中生成了1 mol氯气时转移了电子数是6 mol，而且6 mol的HCl全部被氧化，也就可以顺势计算出了反应中生成了标准状况下的体积为4.48 L氯气时，即生成0.2 mol氯气时，转移了1.2 mol电子，被氧化的HCl的物质的量为1.2 mol。这样在解题中也就出现了这样的错解。究其原因主要就是因为没有将该反应的特点吃透，没有抓住发生在同种元素间的氧化还原反应的主要特征。那么，对同种元素间的氧化还原反应，如何分析可以防止这种错解的出现呢？可以通过数形结合的方法，应用数学中的数轴来解决这一问题。

数轴是数学中用来表示数与数之间关系判断的方法，在数轴上可以反映出数与数的并列关系、包含关系或是交叉关系。因而将这种数学模型引入到化学的问题解决中来，就可以解决同种元素间的氧化还原反应的分析，而避免出现错解。本题中的元素化合价变化是发生在氯元素间，在数轴上我们可以用“·”表示反应前的氯元素的价态，用“ °”表示反应后的氯元素的价态，然后用线连接反应前、后的两种不同价态的氯元素的化合价数值，在连接后的数轴中不能出现线与线的交叉，这样就可以把该类氧化还原反应的正确原理和化合价的变化情况反映到数轴中，也就解决了氧化还原反应中的一大“疑难杂症”。本题中的氯元素化合价变化的数轴图示如图2所示。

图2图3

由图2所示可以看出发生+5价氯元素与-1价氯元素间的氧化还原反应，元素的化合价向中间价态靠拢而不发生变化的交叉，所以在反应中氯气既是氧化产物，也是还原产物，从而可以知道在该反应中每生成1 mol氯气时只有5 mol的HCl被氧化而转移了5 mol电子，从而根据题意计算出，生成了0.2 mol氯气时，反应中被氧化的HCl物质的量为1 mol，转移了1 mol电子；而与之比较的是前述解法中显示的错误解析，发生在+5价与-1价的氯元素间的氧化还原反应中，错误地将+5价氯元素化合价降低分析成了到-1价，由此可以作出图3所示的分析，我们从图3中可以看出，其化合价的变化发生了交叉，这样的分析就是错的。所以应用这种数形结合的模型，可以很一目了然地看出这种同种元素间的氧化还原反应的化合价的变化规则，从而避免了对该类氧化还原反应的分析错误。

数学是纯抽象的“无意义”运算，所以它仅仅是一个工具，化学是对一些数值赋予了一定物理意义的“有意义”运算。将数学中的一些与数结合的图形模型，赋予一定的物理意义后，进行数形结合，就可以拓展思维宽度和深度，从而可以寻找到更适合于解决化学问题的数学方法。

（收稿日期：2015-03-20）