多调制指数CPM 低复杂度序列检测算法

张 茹，钟 声，解 楠，杨 春

（中国工程物理研究院 电子工程研究所，四川 绵阳621900）

0 引 言

多调制指数CPM （Multi－h CPM）是在连续相位调制（CPM）技术［1］基础上发展起来的，它具有Nh（Nh≥2）个调制指数｛h1，h2，...，hNh｝，且随时间循环变化，但在每个码元间隔保持不变。多调制指数引入两方面的增益，一方面，可以提高抗误码性能，不同的调制指数对应不同的相位路径，合理地选择调制指数，可以使相位网格图中的相邻相位路径经过较长的码元间隔再合并，经过的码元长度越长，对应序列间的最小欧氏距离就越高；另一方面，可以使频谱更加紧凑，带外滚降速度更快，提高频谱利用率。美国先进靶场遥测计划组织 （ARTM）已把Multi－h CPM 定为遥测新体制的第二步目标 （ARTM Tier II CPM）。虽然Multi－h CPM 信号具有传统调制方式无法比拟的优点，但其优异的性能是以高的复杂度为代价的，这使得工程实现变的困难。因此，寻求Multi－h CPM 低复杂度序列检测算法成为亟待解决的问题。

针对Multi－h CPM 最大似然序列检测所需匹配滤波器数和网格状态数多带来的高复杂度，国内外学者已进行了大量研究。总体来看，主要有两种技术路线：一种是在接收端寻求与原始信号具有相似或相等欧氏距离且维数较低的信号空间代替发端的原始信号，以降低相关器数目，典型的有相位脉冲截短法、基函数分解法等；另一种是通过合理合并网格状态或预处理等方法，减少Viterbi算法［2］中搜索的网格状态数，典型的有倾斜相位法、状态空间分类［3］。还有文献 ［4］给出了一种基于相位距离的降低复杂度算法，通过设置相位距离门限来选择一部分参考信号进行相关计算，但其门限值没有统一公式且没法定性分析状态减少数量。文献 ［2］指出，两类算法的联合可能得到更好的性能。针对多调制指数文献 ［5］提出了一种降维联合状态空间分类的思路。文献 ［6］给出了一种正交基分解联合状态空间分类的方法，其正交基的获得较为复杂且只针对单调制指数。

在前人的基础上，提出一种基于倾斜相位、特征值分解［7］和状态空间分类的降低复杂度序列检测算法。这里引入特征值分解来获取正交基，并根据最小残余误差准则选取基函数达到降维的目的。同时将信号网格状态进行分类融合，并引入判决反馈［8］约束状态转移，从而实现匹配滤波器数和网格搜索状态数的减少。以Tier II信号为例进行仿真验证，仿真结果表明，其能在较小的性能损失下显著降低复杂度。

1 Multi－h CPM 信号模型

Multi－h CPM 基带信号［9］

在第n个符号间隔 （nT ≤t≤（n＋1）T）时，相位可以表示为

其中，θn是相位状态，（an－1，an－2，…，an－L＋1）是相关状态。CPM 总的状态个数：当m 为偶数时为pML－1，当m 为奇数时为 2pML－1。 信号可完全由状态向量［θn，an－L＋1，…，an－1］确定。

接收信号

其中，n（t）是加性高斯白噪声，单边带功率谱为N0／2。

最大似然检测序列输出［10］

根据Viterbi算法有

分支度量可写为MF1

最佳解调模型如图1所示，共需要ML个匹配滤波器，共有pML或2pML个网格状态。

图1 CPM 最佳解调模型

2 Multi－h CPM 序列检测算法性能及其低复杂度序列检测算法

2.1 序列检测性能理论分析

可以通过在网格中转移的路径之间的最小欧式距离来评估CPM 信号最大似然序列检测的性能。通常，具有最小欧式距离的路径仅有有限个节点不同，即在某个时刻的节点上分离，而在后面某一个时刻的同样节点上重新汇合。

对于高斯白噪声信道下的CPM 信号，比特错误率可以近似表示为

尺度因子可表示为

其中，Δa表示序列差，W 表示比特错误权重，N 表示具有相同序列差的序列对数目，M 为进制数，Nh为调制指数个数，R 为Δa中非零数的个数。误比特率可表示为

2.2 低复杂度序列检测算法

CPM 信号是时变的，而且当调制指数分子m 为奇数时，相位状态还要区分奇数和偶数时刻，为了解决这一问题引入倾斜相位对信号做一些预处理，然后将信号投影到有限维基函数上。这里引入特征函数分解的方法获得正交基并根据最小残余误差准则来选取基函数，能够容易的获取基函数并得到信号最佳降秩表示。为了进一步降低搜索网格规模，可以通过一些准则将状态进行分类合并，由于信号的记忆特性，合并后可能引入非法的转移路径，引入判决反馈来进行约束。具体算法实现过程如下：

（1）倾斜相位：定义（t，a）＝φ（t，a）＋πh（M－1）t／T并用符号Ui＝ （ai＋M－1）／2代替原来的ai，相当于把每一个时刻的相位作相应的平移，那么新的相位表示的不再是绝对相位，而是相对相位值。新的相位轨迹是时不变的，而且共有p 个可能取值，与m 的奇偶无关。相位状态数降为原来的一半，即网格状态数减少一半。

（2）特征值分解EVD：Multi－h CPM 信号在一个符号间隔T 所有可能的取值有N ＝ML个，组成一个信号集。设为信号空间的一组正交基定义向量s（t）＝［s1（t）…sN（t）］T，φ（t）＝［φ1（t）…φN（t）］T，投影sij构成N×M 维矩阵A ，则有s（t）＝Aφ（t）。

为了获得信号的最佳降秩表示，这里引入最小残余误差准则，即真实信号与截短正交基后的近似信号之间的残余误差最小。

信号相关矩阵R＝AAH，分析可知A 的奇异值的平方是R 的特征值，可以通过信号相关矩阵R 的特征值分解来获取正交基，根据特征值大小来选择信号的最佳降秩表示。正交基的个数决定了匹配滤波器的个数。

（3）状态空间分类SSP：为了进一步减少网格状态数，可以将网格状态进行合并，减少Viterbi译码的状态数，同时为了避免引入非法转移路径，引入判决反馈进行状态转移约束。

引入倾斜相位后的Multi－h CPM 信号状态向量可以表示为：σn＝ ［Vn，Un＋1－L，…，Un－1］

简化后的状态定义如下

其中，Γ代表一种映射算子，通过映射可以将一些状态划归为一类。可以根据不同的准则选择映射算子。

包含在状态向量中的信息可以由两个状态向量σ′n和σ″n唯一确定。因为合并后的网格中存在平行转移，所以一些在全状态网格图中不存在的状态转移路径可能发生在合并后的网格状态转移中。当在RS网格中使用Viterbi算法计算分支度量时，为减少计算量同时避免错误路径，就要注意选择有效路径进行计算。但是，无法仅根据减状态后的状态转移来判断路径是否有效，需要其它辅助的限定条件来帮助限定转移，这里引入判决反馈。

基于判决反馈的SSP 算法的实现如下：因为状态向量σn由σ′n和σ″n唯一确定，可知RS网格中的一个转移σ′n：U′n→σ′n＋1，与ML 网格中某个σ″n对应的转移σ′n×σ″n：U′n→σ′n＋1×σ″n＋1相对应。为了对转移状态进行约束，避免产生非法路径，需要确定对应的σ″n。但实际上，简化后的状态对应σ″n是未知的，只能通过幸存路径上的判决结果进行反馈，来估计出被省略的状态，进而得到对应的原始状态。这样不但使Viterbi算法的搜索网格状态数减少，也使得分支度量的计算量减少，从而达到降低复杂度的目的。

3 仿真结果及分析

为了验证低复杂度算法的正确性，以ARTM CPM Tier II信号为例进行仿真。信号的主要参数为：M ＝4，hi∈｛4／16，5／16｝，L ＝3，频率脉冲响应为升余弦。可以看出，Tier II信号总网格状态数为：32×43－1＝512，复数匹配滤波器数为43＝64。其状态向量可以表示为 ［32，4，4］。随机生成106个符号通过调制得到发送信号，通过加性高斯白噪声信道传输，解调统计误码率。给出了不同信噪比下的误码率性能。

图2给出了4维不同网格状态的误码率性能。图中维度决定匹配滤波器数，状态向量决定状态数。状态向量代表的意义是 ［相位状态数，相关状态数，相关状态数］，例如全状态时为64维 ［32，4，4］，匹配滤波器为64，总状态数为32x4x4。当相位状态数或相关状态数为1时，表示此状态被完全忽略，它的贡献被融合到其它状态中。图2中的union bound是理论分析的全状态序列检测性能下界取前两项近似的结果，MLSD 是全状态最大似然序列检测性能曲线。可以看出，不同的简化方案引入不同程度的性能损失。比较4维 ［4，4，4］和4 维 ［2，4，4］的仿真曲线可以看出，匹配滤波器数由64降为4，状态数由512降为64，性能损失在Pb＝10－5时约为0.2dB。再进一步合并相位状态，由4个降为2个，状态数由512降为32，性能损失在Pb＝10－5时约为1dB，引入了0.8dB的损失。比较 ［4，4，4］和 ［4，2，4］、 ［8，1，4］，进一步合并相关状态，由4个降为2个引入较大性能损失，而将最老的相关状态融合到相位状态，保持状态数不变，性能损失比只合并相关状态要小很多。通过分析可知，性能损失主要由两方面引入，一方面是状态合并可能引起最小欧氏距离减小，使得译码过程对噪声更为敏感，导致误码增多。另一方面是引入判决反馈，因为信号具有记忆特性，错误的判决结果进入反馈会导致误差累积。特别是在信噪比较低的情况下，判决错误率较高，反馈回去会造成正确的ML路径被舍弃，导致后面几段网格采用不正确的路径使得误差连续传播，难以达到性能下界。

图3给出了3维不同网格状态的误码率性能仿真结果，可以看出维数 （匹配滤波器数）由4降为3后，状态 ［2，4，4］和 ［4，4，4］性能损失在误码率为10－5时小于0.01，表明可以将匹配滤波器减少为3而几乎不引起性能损失。通过分析可知，主要原因是忽略的特征值相比其它值很小，所以对性能的损失影响很小。当维数降为2 或1时，性能明显恶化，这里没有给出。

不同的低复杂度方案和性能的概括见表1。

图2 低复杂度算法4维不同状态BER 性能

图3 低复杂度算法3维不同状态BER 性能

表1 复杂度和性能比较

4 结束语

针对Multi－h CPM 接收机由于匹配滤波器数和状态数多导致的解调复杂度高的问题，提出一种基于倾斜相位、特征值分解和状态空间分类的低复杂度序列检测算法。通过倾斜相位消除信号时变和奇偶特性，特征值分解和最小残余误差准则获得信号最佳降秩表示，同时引入状态分类融合和判决反馈，实现了匹配滤波器和Viterbi译码搜索网格数的显著减少。理论推导和仿真结果表明：通过合理选择基函数和状态空间分类方法可以实现在较小性能损失下显著降低复杂度。以Tier II信号为例，匹配滤波器由64降为3，状态数由256降为64性能损失在误码率为10－5时仅为0.2dB。

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