带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题

牛玉平

一、命题规律

带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动往往会出现临界和极值问题，有时还会出现多解问题，解决这类问题，对考生分析能力、判断能力和综合运用知识的能力要求较高，因此可能成为2016年高考命题点.

二、解题策略

分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的临界问题时，通常以题目中的“恰好”、“最高”、“最长”、“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端（如极大、极小；最上、最下；最左、最右等），结合几何关系分析得出临界条件，列出相应方程求解结果.

1.常见的三种几何关系

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.

（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.

（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长.

2.两种动态圆的应用方法

（1）如图1所示，一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上，速度增大时，轨道半径随之增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆，与右边界相切的圆即为临界轨迹.

（2）如图2所示，一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点O为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹.利用动态圆可以画出粒子打在边界上的最高点和最低点.

三、易错提醒

解决带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题极易从以下几点失分：（1）审题过程出现多层思维障碍，不能把粒子的运动和磁场的分布相结合分析问题；（2）对定圆心、求半径、找转角、画轨迹、求时间的方法不熟练；（3）找不出临界点，挖掘不出临界条件；（4）数学功底薄弱，求不出临界极值.

可从以下几点进行防范：（1）正确判定洛伦兹力方向，确定轨迹的弯曲方向；（2）熟练掌握圆心、半径、轨迹、转角、时间的求解或确定方法；（3）灵活运用物理方程、几何知识找出等量关系，求出临界极值.）

例1（2015年齐齐哈尔市5月最后一模）如图3所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子.在放射源右侧有一很薄的挡板，垂直于x轴放置，挡板与xOy平面交线两端M、N正好与原点O构成等边三角形，O′为挡板与x轴的交点.在整个空间中，有垂直于xOy平面向外的匀强磁场（图中未画出），带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动，已知带电粒子的质量为m，带电荷量大小为q，速度大小为v，MN的长度为L.（不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用）

（1）确定带电粒子的电性；

（2）要使带电粒子不打在挡板上，求磁感应强度的最小值；

（3）要使MN的右侧都有粒子打到，求磁感应强度的最大值.（计算过程中，要求画出各临界状态的轨迹图）

解析（1）带电粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可得，粒子带正电荷.

（2）设磁感应强度大小为B，带电粒子运动的轨迹半径为r，带电粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，有qvB=mv2r，解得r=mvqB.

由于从O点射出的粒子的速度大小都相同，由上式可得，所有粒子的轨迹半径都相等.

由几何知识可知，为使粒子不打在挡板上，轨迹的半径最大时，带电粒子在O点沿y轴正方向射出，其轨迹刚好与MN相切，轨迹圆心为O1，如图4甲所示.

则最大半径rmax=12Lcos30°=34L，

由上式可得，磁感应强度的最小值Bmin=43mv3qL.

（3）为使MN的右侧都有粒子打到，打在N点的粒子最小半径的轨迹为图4乙中的圆弧OMN.

图中点O2为轨迹的圆心，由于内接△OMN为正三角形，

由几何知识知，最小的轨迹半径为rmin=L2cos30°.

粒子做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，有qvB=mv2r，所以磁感应强度的最大值Bmax=3mvqL

答案：（1）正 （2）43mv3qL （3） 3mvqL

例2（多选）（2015太原质检）如图5所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形（边界上有磁场），A、B、C为三角形的三个顶点.今有一质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力），以速度v=3qBL4m从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出.则（ ）.

A.PB≤2+34L B.PB≤1+34L

C.QB≤34L D.QB≤12L

解析选AD.由Bqv=

mv2R，可知R=34L，则从P点射入的粒子轨迹最长时与AC边相切，此时PB=2+34L，而当粒子在其中经历14圆弧，从BC边上射出时，Q′B最大为12L，故A、D正确.

例3（2015届衡水第二次月考）如图6所示，两平行金属板AB中间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场.A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1.平行金属板右侧有一挡板M，中间有小孔O′，OO′是平行于两金属板的中心线.挡板右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B2.CD为磁场B2边界上的一绝缘板，它与M板的夹角θ=45°，O′C=a，现有大量质量均为m，含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子（不计重力），自O点沿OO′方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线OO′方向运动，并进入匀强磁场B2中，求：

（1）进入匀强磁场B2的带电粒子的速度；

（2）能击中绝缘板CD的粒子中，所带电荷量的最大值；

（3）绝缘板CD上被带电粒子击中区域的长度.

解析（1）设沿直线OO′运动的带电粒子进入匀强磁场B2的速度为v，根据qvB1=qE，解得：v=EB1.

（2）粒子进入匀强磁场B2中做匀速圆周运动，根据qvB2=mv2r，解得：q=mvB2r.

因此，电荷量最大的带电粒子运动的轨道半径最小.设最小半径为r1，此带电粒子运动轨迹与CD板相切.

则有：r1+2r1=a，解得：r1=（2-1）a.

电荷量最大值q=（2+1）mEB1B1a.

（3）带负电的粒子在磁场B2中向上偏转，某带负电粒子轨迹与CD相切，设半径为r2，依题意r2+a=2r2

解得：r2=（2+1）a

.则CD板上被带电粒子击中区域的长度为x=r2-r1=2a.

答案：（1）EB1 （2） （2+1）mEB1B1a （3）2a

（收稿日期：2015-05-16）