基于分簇特性的宽带信道估计算法

王 燕，张立毅，张 锐

（1.天津大学 电子信息工程学院，天津300072；2.天津城建大学 计算机与信息工程学院，天津300384；3.天津商业大学 信息工程学院，天津300134；4.天津科技大学 电子信息与自动化学院，天津300222）

0 引 言

由于正交频分复用 （OFDM）技术［1］采用了子信道频谱相互正交重叠的多载波传输技术，对相位噪声和载波频偏非常敏感。因此，需要在接收端获取准确的信道状态信息。无线通信信道的最大特征就是多径效应。实验结果表明，这种多径效应通常由极少数的主要路径主导，具有稀疏性，即信道时延中非零抽头系数的个数远小于信道时延的抽头总数，且信道带宽越宽，这种特性表现的越明显［2］，如超宽带信道、双向中继信道、水声信道都属于这种结构。传统的信道估计技术通常没有考虑信道的这种特性，大多采用密集多径的形式［3］。

随着新的压缩采样理论——压缩感知技术［4，5］的出现，基于压缩感知的稀疏信道估计技术成为现在压缩感知和信道估计领域的研究热点。文献 ［5］提出了一种基于L0范数的信道估计算法，其重构概率高，但运算复杂度也较高；文献 ［6］提出了一种用L1范数代替L0范数的算法，将其转换为凸优化问题求解，降低了运算复杂度；文献 ［7］提出了基于匹配追踪算法 （matching pursuit，MP）的信道估计算法，其运算复杂度低。MP 算法是其它贪婪算法的基础，如OMP算法［8］、SP算法［9］。

上述所有算法均需要信道冲激响应的稀疏度作为先验条件，这在实际应用中是很难甚至根本无法获得的。文献［10］提出了一种稀疏度自适应的压缩信道感知算法，但其只考虑了信道的稀疏性，忽略了信道除了具有稀疏特性外，还具有集群或者成簇的特殊结构。为此，本文在考虑了稀疏性之后，加入了对信道分簇特性的考虑，提出一种基于分簇稀疏特性的自适应正则匹配追踪压缩信道感知算法（CRAMP），通过计算机仿真，比较了该算法与传统的LS算法、BPDN 算法、OMP算法、BOMP算法在OFDM 系统中的误码率（BER）、均方误差（MSE）和算法复杂度。

1 信道模型及系统模型

1.1 信道模型

本文采用修正的S－V 信道模型［11］。该模型的主要特性之一就是多径分量在显示出稀疏特性的同时，还具有分簇结构，且簇结构也具有稀疏性。其信道数学模型为

式中：C——簇的数目，Tc——第c簇的延时，P——每一簇中多径的数量，τp，c——第c簇的第p 条多径的 延时，hp，c——第c簇的第p 条 多 径 的 振 幅，ejφp，c——第c簇 的 第p 条多径角度。

1.2 系统模型

在如图1所示的系统中，发送端数据经过调制后，插入导频数据，再进行串并转换和进行IFFT 变换，并加入循环前缀，送入无线多径信道传输；在接收端，去除循环前缀后，提取导频，进行FFT 变换，进行信道估计、信道补偿后，得到最终的数据。

图1 OFDM 系统框架

在发送端，设OFDM 每个子载波的数据为X（k），经过IFFT 后得到的数据为

信号通过信道后 （这里设信道的长度小于CP 的长度，即在一个符号周期内，信道是时不变的）接收信号为

式中： ——线性卷积，w（n）——白噪声。在去除CP 后，并进行FFT 变换后得到的表达式为

式中：H（k）——信道的频域响应，W（k）——白噪声w（n）的频域响应。

将式 （4）写成向量形式为

式 中：Y——收 信 号 向 量，X ＝diag（X（0），X（k），…，X（N－1）），X（k）为OFDM 符号中第k 个子载波的数据，F——DFT 变换矩阵。

设每个OFDM 信号总共有N 个子载波，在其中插入M个导频信号，即N 个子信道中有M 个子信道为导频信道。通过选择矩阵得到M 个导频信号处的数据为

2 基于压缩感知的信道估计算法

在传统的OFDM 系统信道估计中，根据式 （6），要求导频信号的数量必须大于信道长度数。当导频信号数量小于信道长度数时，式 （6）是一个欠定性问题，未知解不唯一。由于信道h具有稀疏特性，令Ψ ＝XMFM，则式 （6）变为

从OMP算法的整个迭代过程可以得到，OMP 算法需要已知信号的稀疏度才能实现精确重构，对稀疏度的过大或过小估计都可能影响算法的性能，并且由于选择的原子不能更新，所以对算法的性能也有一定的影响。

3 基于分簇特性的压缩信道感知算法

3.1 簇 （块）感知

在实际通信系统中，许多稀疏信号的非零值都是簇（集群）或成块出现的，如宽带信道、多波段信号、DNA阵列、雷达脉冲信号等［13］。

簇 （块）稀疏信号的压缩感知模型与传统的压缩感知模型一致，只是其中h 的稀疏结构为簇 （块）稀疏结构，其中，C 为簇 （块）的数目，d 为每簇 （块）中的元素数目，L 为总的元素数目，且L ＝C×d。hT［c］称为一个子簇（块）。若h 中共有C 个子簇 （块），且在C 个子簇 （块）中，仅有K（K＜L）个簇 （块）中含有非零的元素，则h 称为K－阶簇 （块）稀疏信号，即

要保证h能通过Y 有效地重构出来，只有当Ψ 满足有限等距特性 （RIP）时，才能完成。并且重构信号的重构精度直接与RIP 特性相关，RIP 的值越小，重构精度越高。文献 ［14］将原有RIP 特性延伸到K－阶簇 （块）稀疏向量，并定义了块有限等距特性 （B－RIP），即：

存在一个较小的常数δB∈（0，1），对于任意K－簇稀疏向量h，有式 （9）成立

同时，文献 ［14］证明了对于一个K－阶簇 （块）稀疏向量，由于块稀疏向量比一般随机稀疏向量具有更小的等距常数，即δB＜δK。ELDAR 等指出，当簇 （块）稀疏向量的测 量 矩 阵Φ 满 足2 K 阶 的B－RIP 条 件，且B－RIP 特 性δB＜－1，就可以完成对稀疏向量的重构。

因此，当稀疏信号具有簇 （块）稀疏结构时，有限等距特性具有衰减特性。由于等距特性的衰减，将信号的簇（块）稀疏结构特性应用到重构算法中时，重构算法可以具有更好的重构精度。现在基于簇 （块）稀疏信号的重构算法主要有L－OPT［14］，BMP［15］，BOMP［15］这3 种。其中LOPT 是基于凸优化算法的，而BOMP是从原有的贪婪算法中加入簇 （块）稀疏结构改进的。

3.2 基于分簇特性的信道压缩感知算法

由于文献 ［15］提出的算法虽然考虑了信号的稀疏结构，但要求簇 （块）稀疏度须已知，而实际中信号的稀疏结构通常是未知和具有不确定性的。因此，本文提出一种基于分簇特性的自适应正则匹配追踪 （CRAMP）信道估计算法。该算法利用回溯和正则化的思想，将簇稀疏度与非零簇的位置进行分阶段迭代估计和更新，改变了BOMP 中簇不能进行更新的缺点，对实时性和准确度都要求较强的宽带信道估计有较好的适用性。基于稀疏信道结构的重构算法流程如图2所示。

（1）输入及初始化：根据式 （7），观测矩阵Ψ＝XF∈RM×N，测量值YM，初始化簇稀疏度s，阈值ε；分块向量G

图2 CRAMP算法流程

初始化：h＾＝0，残差r0＝YM，信号支撑簇集T0＝ （空集），第一阶段块稀疏度k＝s，迭代次数i＝1，阶段次数j＝1。

（2）初始测试：在第i次迭代时，i∈｛1，2，…，L｝选择与残差ri－1最相关的s个簇的序列号付给li，即

（3）更新信号支撑簇：运用正则化的思想，将信号支撑簇选择的簇进行分组，选择最大的k 个信号支撑簇，更新支撑簇

（4）回溯

（5）计算残差ri

其中 （·）T表示转置，（·）＋表示伪逆运算。

4 仿真与结果分析

为了验证CRAMP 算法的性能，本文通过MATLAB仿真平台进行了如下仿真，其中系统参数设置如下：在OFDM 系统中，子载波个数N＝512，循环前缀长度CP＝128，系统载波频率5GHz，符号调制为QPSK。信道采用IEEE802.15.3a标准信道，信道长度为128，稀疏度为8，分簇大小d＝4。

图3 给出了导频子载波数为32 （占子载波数的6.25%），不同信噪比时几种算法的误码率BER 比较曲线。图4给出了导频子载波数为32，不同信噪比时几种算法的MSE比较曲线。

图3 导频为32、不同信噪比时算法的BER 比较曲线

图4 导频为32、不同信噪比时算法的MSE比较曲线

由图3、图4可见，传统的LS算法性能较差，这是由于采用的导频数目小于信道抽头数目，采用最小二乘法不能准确估计信道；OMP算法和BPDN 算法性能虽有一定提高，但由于信道的分簇性亦不能达到良好的效果；BOMP算法虽然性能较好，但由于其需要预先知道信道的非零抽头数目，并不利于在实际中实现；本文提出的算法在误码率和MSE比BOMP 算法均有了一定程度的提高，且不需预先知道信道的非零抽头数目。

图5和图6给出了信噪比为30dB时，不同导频数目对算法性能的影响。

图5 不同导频数目对算法BER 的影响

图6 不同导频数目对算法MSE的影响

由于传统的LS算法在导频数量大于信道抽头数时才能满足信道估计的要求，因此这里只对基于压缩感知的信道估计算法进行了比较。由图5、图6中可以看出，BPDN 和OMP算法的性能较差，这是由于以上两种算法虽然是稀疏算法，但其并不涉及到信道的分簇特性。同时，由图5、图6可以看出随着导频数量的增加，每种算法的性能都有了提高，但当导频数目增大到70 后，其性能的改善并不明显。这是因为压缩感知算法属于对欠定问题的求解算法，当导频达到一定数量时，重构性能达到最好，此时增大导频的数量并不能带来系统性能的改善。

图7给出了BPDN、OMP、BOMP、CRAMP算法在计算机上的仿真时间曲线，由图7可以看出BPDN 算法的运算时间最长，OMP 次之，接下来是BOMP 算法，运算时间最短的是CRAMP 算法。对于BPDN 算法和OMP 算法都是应用传统的CS理论并没有将信号的稀疏结构加以考虑，每次只能提取一个非零元素，BPDN 算法又是基于凸优化的稀疏重建算法，所以其运算复杂度最高；OMP算法是贪婪算法，其运算时间与算法的迭代次数有关，当信道稀疏度已知时，运算时间相对较短。对于BOMP 和CRAMP这两种贪婪算法而言，它们每次提取的是块元素，其和OMP算法中每一次迭代的复杂度是相同的，但由于块稀疏度是小于信号稀疏度的，所以BOMP和CRAMP算法的迭代次数较少，自然运算的时间也较短。又因为CRAMP算法采用了稀疏度自适应的过程，可以减小迭代次数所以运算时间又比BOMP 短一些，但整体上，BOMP算法和CRAMP算法的运算时间差别不大。

图7 不同算法的运算时间比较

5 结束语

宽带信道的稀疏性是其本身固有的物理特性，使得压缩感知技术能在稀疏信道估计上得以应用。本文在宽带信道原有稀疏特性的基础上进一步研究分簇稀疏结构，并根据分簇结构和实际中簇稀疏度未知的情况，提出了一种分簇特性的自适应正则化的压缩信道感知算法。仿真结果表明，在导频数与信噪比相同的情况下，该算法的BER 和MSE的性能均优于原有的相关算法，且兼顾了算法的复杂度要求。

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