随机时滞电力系统稳定性分析

厉文秀

（河海大学能源与电气学院，江苏南京 210098）

在自然界，系统状态的未来发展趋势往往既取决于当前运行状态，也与过去的状态密切相关，这类现象称为时滞现象。时滞现象在电力系统的控制回路中非常普遍，在过去分析电力系统时，往往忽略时滞的影响，这主要是因为控制器由本地量构成，此时的通信延时在10 ms以下[1-4]。但是，随着互联电力系统规模和复杂度的不断增加，大量功率需要远距离传输，区域间功率振荡的可能性和危害性日益增加，仅靠局部反馈信号设计的控制器越来越难保证互联电力系统的稳定性，必须充分利用广域量测系统所能提供的远方设备信息，进行系统协同控制，方能确保系统的安全稳定运行。而广域量测信息存在明显的延时，不能完全忽略，因此研究时滞环节对系统稳定性的影响，具有十分重要的现实意义[5-8]。

现实生活中电力系统总是存在着各种各样随机干扰，这些干扰有的是由扰动引起的系统内部结构、参数变化，有的是由可再生能源、电动汽车等接入引起的外部随机激励。当前随着可再生能源的大规模并网，其随机性对电力系统的影响不容忽略，有必要研究随机因素作用下电力系统的稳定性问题[9-10]。

随机电力系统中加入时滞，其研究的难度大大增加。近年来随着随机H∞控制问题的解决，随机时滞系统的稳定性和鲁棒控制问题的研究取得了一定进展，出现了一些新的研究成果。文献[11]研究了一类带Markovian切换的非线性时滞随机系统的稳定性问题；文献[12-13]通过使用模型转换和线性矩阵不等式的方法，研究了一类时滞不确定随机系统的平均时间延迟和指数稳定性的鲁棒控制；文献[14-15]研究了不确定随机系统的鲁棒稳定性条件。

目前在电力系统领域，随机时滞系统的稳定性研究还未见报道。本文以励磁系统输入信号延时作为时滞环节，并通过引入负荷扰动项，建立单机无穷大随机时滞系统的数学模型；仿真获得随机时滞电力系统的受扰轨迹，分析不同时滞、不同扰动强度下随机时滞电力系统的稳定性；负荷模型分别采用恒阻抗、恒功率、恒电流模型，分析比较采用不同负荷模型对系统稳定性的影响。仿真表明，3种负荷模型所能承受的时滞上限能力从大到小依次为：恒阻抗模型、恒电流模型、恒功率模型。

1 随机时滞电力系统模型

1.1 负荷模型

用于描述负荷特性的数学模型称之为负荷模型[16]。如果所采用的负荷模型不够准确，在系统仿真过程中，会影响电力系统的动态响应以及系统安全稳定问题，甚至仿真得到的结果与系统的真实情况存在很大的差异[17-20]。

一个静态负荷模型表示任意瞬时的负荷特性是该瞬时的母线电压幅值和频率的代数函数。有功功率分量P和无功功率分量Q分别予以考虑。本文只考虑与电压相关的负荷模型。

传统上负荷对电压的依赖特性用指数模型来表示

式（1）中，P和Q为当母线电压幅值为V时的负荷有功和无功分量；下标“0”表示初始运行条件时相关变量的值。

这个模型的参数是指数a和b。当这些指数等于0、1或2，该模型分别表示恒功率、恒电流或恒阻抗特性。对于合成负荷，它们的值取决于负荷分量的综合特性。指数a（或b）接近等于当U=U0时的斜率dP/dU（或dQ/dU）。对于合成的系统负荷，指数a通常在0.5～1.8的范围内；指数b的典型值在1.5～6.0之间。指数b的一个突出特点是，它的变化是电压的非线性函数。这是配电变压器和电动机的磁饱和所引起的。电压越高，Q也就明显的越大。

广泛用来表示负荷的电压依赖性的另一种模型是多项式模型

这个模型通常称为ZIP模型，因为它是由恒阻抗（Z）、恒电流（I）和恒功率（P）分量组成的。该模型的参数是系数p1～p3和q1～q3，它们定义了每个分量的比率。

1.2 三节点电力系统随机时滞模型

以图1所示3节点电力系统，其中发电机采用三阶实用模型，计及励磁系统动态。

图1 典型3节点系统Fig. 1 A classical three-bus power system

系统中负荷模型采用的是集结负荷模型，包括商业居民负荷和工业负荷。商业负荷和居民负荷均采用恒功率静态模型；工业负荷包括静态工业负荷和动态工业负荷两部分，其中静态工业负荷采用（ZIP）模型（即恒阻抗、恒电流和恒功率负荷模型），以恒功率模型为例，动态工业负荷则可以表示为如下形式[21-22]：

式（3）中，P0，Q0分别为商业居民负荷的有功、无功负荷；P1，Q1分别为工业负荷中静态部分的恒功率有功、无功负荷；U、θ为负荷母线处电压及相角。Kpω，Kqω，Kpv，Kqv，Kqv2和T为负荷特性常数。

在式（3）的基础上，建立数学模型

式（4）中，Xd和Xq分别为dq轴同步电抗；E′q为q轴暂态电势；X′d为d轴暂态电抗；δ和ω分别为发电机转子的功角和角速度；ω0为角速度的初始稳态值；Tj为发电机的惯性时间常数；Pm为机械功率；Pe为电磁功率；D为阻尼系数；T′d0为d轴的暂态时间常数；Ef为励磁电势。PL和QL是负荷母线从网络中吸收的有功功率和无功功率，是U，θ，δ的函数。其表达式为

式（5）中，E′0、Y′0和θ′0是根据戴维南等效定理，将负荷点上并联的电容C并入无穷大母线后系统的等值参数

其中Y=1/X0，X0=Xl/2+XT2，XT2为降压变压器T2的电抗。

式（4）中的Pe、Id、Vg可以根据发电机的电压向量图，得到关系式

式（7）中，EQ为假想电动势；Eq为空载电动势；V为无穷大母线电压；Vg为励磁系统端电压。

一般认为功角稳定性问题与有功负荷的变化有关，而电压稳定性与无功负荷有关，所以本文只考虑无功负荷发生随机变动。在系统已知负荷模型中加入随机扰动项，这样模型系统中无功负荷形式为

1.3 随机微分方程的数值计算方法

对于随机微分方程来说，只有满足一些特殊表达的简单系统才能够解析求解，更多的情况需通过数值计算方法获得解过程的轨迹。EM数值方法是随机微分方程最简单的数值求解的方法[23-24]。设随机过程X（t）是随机微分方程（6）的解过程，对于某个正整数N，记Δt=（T-t0）/N，τj=jΔt，Xj=X（τj），j=0，1，2，…，N，则EM数值方法的差分迭代公式为:

2 系统动态响应分析

系统参数设置如下：

Tj=10.0 s，Xd=0.982 pu，Xq=0.982 pu，X′d=0.344 pu，Xe=0.604 pu，D=0.5，T′d0=5.0 s，Vg0=1.05 pu，Pm=0.45 pu，ω0=314.15 rad/s，Ka=5，Ta=0.5 s，C=12，Kpω=-0.4，Kqω=-0.03，Kpv=0.3，Kqv，=-2.8，Kqv2=2.1，T=8.5，P0=0.6，Q0=1.3，P1=0，Q0=10.946。

采用EM数值方法仿真获得系统电压变化曲线，仿真1 000次并平均，根据平均响应曲线分析时滞对稳定性的影响。

1）σ0=0.01

从图2中，我们可以看出，当激励强度σ0=0.01时，电压振荡幅度比较小，当时滞比较小时，负荷母线电压变化比较平衡，系统稳定。而当随着时滞τ逐渐增大到τ=0.139 s时，母线电压大幅度降低，系统失稳。

2）σ0=0.5

3）σ0=1

从图3中可以看出，当激励强度σ0=0.5时，电压振荡幅度比较小，当时滞比较小时，负荷母线电压变化比较平衡，系统稳定。而当随着时滞τ逐渐增大到τ=0.121 s时，母线电压大幅度降低，系统失稳。图4中，当激励强度σ0=1时，无论有没有时滞，或者时滞数值为多大，系统都失稳。比较图2、图3可以发现，随着激励强度的增加，负荷母线电压呈现明显的随机振荡，这主要是由于随机扰动添加到了Q1中，负荷点的电压则对无功波动反应迅速，而且随机激励强度越大，系统振荡频率越快。

图4 σ0=1时电压响应曲线Fig. 4 The voltage curve under σ0=1

表1列出了不同随机扰动强度，不同时滞作用下系统的稳定域与不稳定域。

表1 恒功率模型时不同时滞、不同激励强度下的电压稳定性Tab. 1 Stability under different excitation intensities and time delays with constant power load

从表1中，可分析出：随机时滞电力系统的稳定性不仅取决于激励的强度，还与时滞的大小密切有关。且随着激励强度的增加，系统可承受的时滞上限逐渐降低，稳定域缩小。

3 负荷模型对系统稳定性的影响

当负荷采用恒阻抗模型时，即

分析在这种模型条件下，不同时滞、不同激励强度下系统的稳定性。仿真结果如表2所示。

表2 恒阻抗模型时不同时滞、不同激励强度下的电压稳定性Tab. 2 Stability under different excitation intensities and time delays with constant impedance load

当负荷采用恒阻抗模型时，即

分析在这种模型条件下，不同时滞、不同激励强度下系统的稳定性。仿真结果如表3所示。

表3 恒电流模型时不同时滞、不同激励强度下的电压稳定性Tab. 3 Stability under different excitation intensities and time delays with constant current load

综合表1—表3可知，采用不同的负荷模型，对时滞随机电力系统的稳定性会有不同的影响。在相同的随机激励强度下，不同的负荷模型所能承受的时滞上限有所差异。3种负荷模型所能承受的时滞上限的能力由大到小的顺序为：恒阻抗模型>恒电流模型>恒功率模型。其原因在于：系统中负荷母线处安装的电容，其作用是为了支撑负荷点的电压，但负荷模型中随机扰动的存在会导致系统电压产生随机波动并略有下降。由于恒阻抗模型所需无功功率与电压平方值成正比，恒电流模型所需无功功率与电压值成正比，因此这两种模型所需要的无功功率都会随着系统电压的降低而减少，且恒阻抗模型减少的程度多于恒电流模型。而恒功率模型所需的无功功率并不随系统电压变化而变化，导致系统电压进一步下降，因此会更加不利于系统的电压稳定。

4 结语

本文基于一个经典3节点电力系统模型，以励磁系统输入信号延时作为时滞环节，并通过引入负荷扰动项，建立随机时滞系统的数学模型，并运用随机欧拉法对该微分方程组进行数值求解，仿真分析不同时滞、不同扰动强度下随机时滞电力系统的稳定性；同时负荷模型分别采用恒阻抗、恒功率、恒电流模型，分析比较不同负荷模型对系统稳定性的影响。仿真表明，3种负荷模型所能承受的时滞上限能力从大到小依次为：恒阻抗模型、恒电流模型、恒功率模型。

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