一类非线性随机年龄种群收获系统的数值解

王昆仑+赵朝锋+张启敏

通讯作者，Email：tufei210@126.com（1.河南护理职业学院公共学科部，中国 安阳455000; 2.宁夏大学数学与计算机学院，中国 银川750021）

摘要研究了非线性随机种群收获动力学模型的数值解问题，给出了外界环境对系统产生影响的条件下随机收获动力学系统.通过控制收敛定理，It公式及Gronwall不等式，讨论了随机种群系统数值解收敛问题，得到了数值解逼近解析解的充分条件，所得结论是确定性种群系统的扩展.

关键词随机种群收获系统;It公式;Gronwall不等式

中图分类号O241文献标识码A文章编号10002537（2015）06008305

Numerical Solutions to a Nonlinear Stochastic Harvesting Population System

WANG Kunlun1， ZHAO Chaofeng1， ZHANG Qimin2*

（1.School of Students Affairs Department， Henan Nursing Vocational College， Anyang 455000， China;

2.School of Mathematics and Computer Science， NingXia University， Yinchuan 750021， China）

AbstractNumerical solution to a nonlinear stochastic harvesting population system is studied. When the external environment affects the system， the sufficient condition for the numerical solution is obtained through dominated convergence theorem， It fomula and Gronwall lemma. The result extends that of certaint population system.

Key wordsstochastic harvesting population system; It fomula; Gronwall lemma

考虑由下列数学模型所描述的随机种群收获动力学系统（P）：

p（r，t）r+p（r，t）t+λ1（r，t）p（r，t）+u1（r，t）p（r，t）=f1（p，t）+g1（p，t）dωdt，（r，t）∈Q;

p（r，0）=p0，QA=（0，A）;

p（0，t）=∫A0β1（r，t）p（r，t）dr，QT=（0，T）.（1）

其中Q=（0，A）×（0，T）. A是种群个体最高存活年龄，00是时间，λ1是平均死亡率，β1是平均生育率，p（r，t）是在t时刻年龄r的种群密度，u1（r，t）是收获控制，满足0≤u1（t）≤umax. f1是年龄为r在时间t的种群外界扰动（如迁移、地震等多突发灾害所造成的种群变化等）， f1（p，t）+g1（r，t）dωdt是外界环境对所研究系统的随机扰动（ω（t）是白噪声）.

对于确定性的种群收获系统的数值解、最优控制、最优控制已经有大量文献进行了研究，如文献[1～3].对于随机种群系统[4～15]的数值解、最优控制、解的存在性唯一性也已有所研究，文献[5～6]对解的存在唯一性、指数稳定性以及解的收敛性进行了研究.文献[7]对随机年龄结构的种群系统方程进行了数值分析.文献[8]利用Euler方法研究了随机年龄结构的种群系统数值解的收敛性.然而对随机种群收获系统的数值解研究却很少见到，本文主要针对系统（1），讨论了在时间[0，y]内种群收获系统数值解收敛到解析解问题.

湖南师范大学自然科学学报第38卷第6期王昆仑等：一类非线性随机年龄种群收获系统的数值解1预备知识

令V=H1（Q）={z|z∈L2，zx∈L2（Q），其中zx是广义函数意义下的偏导数}.V是Q的一阶Sobolev空间，有V→H≡H1→V1.V1和V的对偶空间，分别用‖·‖，·，‖·‖1，表示V，H，和V1中的范数，〈·，·〉表示V1和V的对偶积，（·，·）是H中的内积，且存在常数k有|x|≤k‖x‖，x∈V.F∈Ψ（M，H）是M到H有界算子空间中的一个算子，‖F‖2是HilbertShmidt范数，即‖F‖22=tr（FWFT）.设（Ω，F，F，P）是定义的一个完备概率空间，滤波Ft≥0是右连续的且是递增的，C=C（[0，T];H）是所有从[0，T]到H的连续函数形成的空间，其范数‖q‖C=supt∈[0，T]|q|（t）.以及LPV=LP（[0，T];V）和LPH=LP（[0，T];H），F是包含所有的零测度集.

为了进一步研究系统（1），考虑如下模型

p（r，t）r+p（r，t）t+λ（r，t）p（r，t）+u（r，t）p（r，t）=f（p，t）+g（p，t）dωdt，（r，t）∈Q;

p（r，0）=p0，QA=（0，x）;

p（0，t）=∫A0β1（r，t）p（r，t）dr，QT=（0，y）.（2）

其中f（·，t）：L2H→H是一类非线性算子，{F-}关于t是可测的. g（·，t）：L2H→L（M，N）是一类非线性算子，F-关于t是可测的.

一类划分令（T，T′）∈[0，s]×[0，s′].K={0=X0，X1，…，XN=T}是关于[0，T]的一类划分，其中Δn=Xn+1-Xn， n=0，1，…，N-1.当N→+∞时‖K‖=maxΔn→0. K′=0=Y0， Y1，…，YN=T是关于[0，T′]的一类划分，其中Δn′=Xn′+1-Xn′， n′=0，1，…，N-1.当N→+∞时‖K′‖=maxΔn′→0.

式（2）的离散迭代式如下：

pN（xn，yn′+1）Δn=pN（xn，yn′）Δn-（pN（xn+1，yn′）-pN（xn，yn′））Δn′-

λ（xn，yn′）pN（xn，yn′）ΔnΔn′-u（xn，yn′）pN（xn，yn′）ΔnΔn′+f（pN（xn，yn′），yn′）Δn′Δn+

14f（pN（xn，yn′），yn′）（Δn′Δn）2+g（pN（xn，yn′），yn′）Δω（r，t）.（3）

其中pN（x，y）是p（x，y）的逼近，两者在节点处相等，且有pN（x，0）=p（x，0），Δω（r，t）=ω（xn+1，yn′+1）-ω（xn，yn′+1）-ω（xn+1，yn′）+ω（xn，yn′）.

关于（2）在（0，x）×（0，y）上的积分形式如下：

∫y0p（x，t）dr=-∫y0∫x0p（r，t）tdrdt+∫y0∫x0（β（r，t）-λ（r，t）-u（r，t））p（r，t）drdt+

∫y0∫x0f（p，t）drdt+∫y0∫x0g（p，t）dω（r，t）.（4）

若n，n′=0，1，…，N-1，Δn=TTN=Δ，Δn′=TT′N=Δ′.下面给出式（4）的逼近形式

∫y0N（x，t）dt=-∫y0∫x0N（r，t）tdrdt+∫y0∫x0g（N（r，t），t）dω（r，t）+

∫y0∫x0（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））N（r，t）drdt+

∑n-1l=0∫yyn′∫xl+1xl（∫tyn′∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt+∑n′-1k=0∑n-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt+

∑n′-1k=0∫k+1yk∫xxn（∫tyk∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt+∫yyn′∫xxn（∫tyn′∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt.

其中

N（r，y）=pN（xn，yn′），（x，y）∈[xn，xn+1）×[yn′，yn′+1）;

pN（xn，yN），x∈[xn，xn+1），y=yN;

pN（xN，yn′），x∈xN，y∈[yn′，yn′+1）;

pN（xN，yN′），x∈xN，y∈yN.（5）

其中n′=n=0，1，…，N-1，N（r，t），N（r，t），N（r，t）亦可以如上定义.

同时下列假设条件成立：

（A1） f（i，0）=0，g（i，0）=0，i∈S.

（A2） （Lipschitz条件）存在一个正常数L，当（r，t）∈[0，T]×[0，T′]时，

|f1（p，t）|2≤L2（1+|p（r，t）|2），

|g1（p，t）|2≤L2（1+|p（r，t）|2）.

（A3） λ1∈C（Q×R+），非负可测函数，且满足0≤λ0=λ1（r，0）≤λ1（r，t）≤θ1<∞.

（A4） β1∈C（Q×R+），非负可测函数，且满足0≤β1（r，0）≤β1（r，t）≤θ2<∞.

（A5） u∈Uad=U的非空凸子集，且U=L2（Q），ε≤u≤m.

2主要结果

定理1在假设条件下，存在一个与N无关的常数C>0，有

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤C.

证不失一般性，若（x，y）∈[xn，xn+1]×[yn′，yn′+1]，则有

∫y0N（x，t）dt=∫yn′0N（xn，t）dt=-∫yn′0∫xn0N（r，t）tdrdt+∫yn′0∫xn0g（N（r，t），t）dω（r，t）+

∫yn′0∫xn0（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））N（r，t）drdt+∫yn′0∫xn0f（N（r，t），t）drdt+

∑n′-1k=0∑n-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt.（6）

根据偏导算子的有界性（其上界为L′0），Holder不等式以及（a+b+c+d+e）2≤5a2+5b2+5c2+5d2+5e2，可得

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤5L′20（TT′）∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt+

5（-λ0-）2∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt+5L2（TT′）∫yn′0∫xn0（1+E|N（r，t）|2）drdt+

5L2∫yn′0∫xn0（1+E|N（r，t）|2）drdt+5L2（116（TT′）4+116（TT′）3）∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt≤

5L2（TT′）2+5L2（TT′）+516L2（TT′）4+[5L2（TT′）+5L′20（TT′）+5L2516（TT′）3+

5（-λ0-）2（TT′）]∫yn′0∫xn0E|N（r，t）|2drdt.（7）

若令L1=5L2（TT′）2+5L2（TT′）+516L2（TT′）4，

L2=5L2（TT′）+5L′20（TT′）+5L2+516（TT′）3+5（-λ0-）2（TT′）.

则有sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤L1+L2∫y0∫x0E|N（r，t）|2drdt.由Gronwall不等式，存在L3>0，使得sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt|2≤L3eL2=C，N.由此可得到在时间[0，y]内∫y0N（x，t）dt是有界的.

定理2在上述定理的条件下，存在一个与N无关的常数C0，有

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0pN（x，t）dt|2≤C0，N.

证若（x，y）∈[0，T]×[0，T′]，则有

∫y0pN（x，t）dt=-∫yn′0∫xn0N（r，t）tdrdt+∫yn′0∫xn0g（N（r，t），t）dω（r，t）+

∫yn′0∫xn0（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））pN（r，t）drdt+∫yn′0∫xn0f（n（r，t），t）drdt+

∑n′-1k=0∑n-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt.（8）

与定理1同样的方法，若（x，y）∈[0，T]×[0，T′]，存在常数L′3>0，则

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0pN（x，t）dt|2≤L′1+L′2∫y0∫x0E|pN（r，t）|2drdt.

所以sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0pN（x，t）dt|2≤L′1eL′3=C0.此定理说明在时间[0，y]内∫y0pN（x，t）dt是有界的.

定理3在上述定理的条件下，对任意（x，y）∈[xn，xn+1]×[yn′，yn′+1]，当N→∞时，有

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2→0.

证若任意（x，y）∈[xn，xn+1]×[yn′+yn′+1]，可得

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2≤|∫D（-λ0-）N（r，t）drdt|+|∫DN（r，t）tdrdt|+

|∫Df′（N（r，t）drdt，t′）drdt|+|∫Dg（N（r，t），t）|dω（r，t）+

|∑n-1l=0∫yyyn′∫xl+1xl（∫tyn′∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|+|∑n′-1k=0∫yk+1yk∫xxn（∫tyk∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|+

|∫yyn′∫xxn（∫tyn′∫xsf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|.（9）

其中D=[（0，0），（x，y）]＼[（0，0），（xn，yn′）].

由Hlder不等式，Lipschitz条件以及定理1，可得存在常数m>0，使得

E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2≤m（7（-λ0-）2|D|CT+2·7L2|D|2+2·7L2|D|TC+

7L′20|D|TC+7L2（1+TC）（116x2Δ2Δ′4+116y2Δ4Δ′2+116y2Δ4Δ′4））

其中|D|表示D的Lebesgue测度.当N→∞时，|D|→0.所以

sup（x，y）∈[0，T]×[0，T′]E|∫y0N（x，t）dt-pN（x，t）dt|2→0.

定理4在上述定理的条件下，对任意（T，T′）∈[0，s]×[0，s′]，当N→∞时，有

sup（T，T′）∈[0，s]×[0，s′]E|∫yN0（p（xN，t）dt-pN（xN，t））dt|2→0.

证E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤

5E|∫xN0∫yN0（β（r，t）-λ（r，t）-u（r，t）-（N（r，t）-N（r，t）-N（r，t））N（r，t））|2drdt+

5E|∫xN0∫yN0（p（r，t）t-N（r，t）t）drdt|2+5E|∫xN0∫yN0（f（p（r，t），t）-f（N，t））drdt|2+

5E|∫xN0∫yN0（g（p（r，t），t）-g（N，t））dω（r，t）|2+5E|∑N-1k=0∑N-1l=0∫k+1yk∫xl+1xl（∫tyk∫xl+1sf（N（r，t），t′）dr′dt′）drdt|≤

5（-λ0-）2（TT′）∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt+5L′20（TT′）∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt+

516L2（TT′）2（ΔΔ′）2（1+TC）≤516L2（TT′）2（ΔΔ′）2（1+TC）+

（5（-λ0-）2（TT′）+5LTT′+5L2+5L′20）∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt.（10）

令L4=516L2（TT′）2（ΔΔ′）2（1+TC），L5=5（-λ0-）2（TT′）+5LTT′+5L2+5L′20.

则有E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤L4+L5∫yN0∫xN0E|p（r，t）-N（r，t）|2drdt≤

L4+2L5∫yN0∫xN0E|p（r，t）-pN（r，t）|2drdt+2L5∫yN0∫xN0E|pN（r，t）-N（r，t）|2drdt.（11）

由上述定理及控制收敛定理，limN→+∞∫xN0E|∫yN0（pN（r，t）-N（r，t））dt|2dr=0，可得

limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤2L5limN→+∞∫yN0∫xN0E|p（r，t）-pN（r，t）|2drdt.

若存在常数L′5≥0得

limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤2L′5limN→+∞∫xN0E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2dr.

再由控制收敛定理，可知

limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2≤2L′5∫xN0limN→+∞E|∫yN0（p（xN，t）-pN（xN，t））dt|2dr.

同理，可得到对任意（r，t）∈[0，T]×[0，T′]

limN→+∞E|∫T′0（p（T，t）-pN（T，t））dt|2≤4L′4∫T0limN→+∞E|∫T′0（p（T，t）-pN（T，t））dt|2dr.

由Gronwall不等式可得

sup（T，T′）∈[0，s]×[0，s′]E|∫yN0（p（xN，t）dt-pN（xN，t））dt|2→0.

即，在时间[0，y]内系统的解析解是均方收敛于数值解的.

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