从高等代数中引出的问题

杜伟刚　宋传宁

摘要：在求解解线性方程组Ax=b中，如果b？埸R（A），那么找范数最小的最小二乘解是一项重要的工作。从[1]中，我们已经知道其解为x=A+b，其中A+称为A的M-P逆。本文就如何求A+归纳成几个常用的方法。

关键词：矩阵；矩阵的初等变换；M-P逆

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）02-0194-02

1 背景介绍

在高等代数的教与学的过程中，尤其在讲到逆矩阵的时候，学生往往会问，如果矩阵A不是方阵，那么是否有逆矩阵呢？为了让学生开阔眼界，也是为了求出解线性方程组Ax=b的最佳解，我们特写此文以飨读者。至于M-P逆（称广义逆）还有何作用，我们这里就不再详述了。设A是复数域C上的m×n矩阵，R（A）={Ax|x是C上的n维向量}是A的值域，rank（A）表示矩阵A的秩，A*表示A的共轭转置。满足下列4个条件的矩阵X称为A的M-P逆：（1）AXA=A；（2）XAX=A；（3）（AX）*=AX；（4）（XA）*=XA。由于A的M-P的唯一性，用A+表示，A（i）表示满足上述第i个条件的X（不唯一）。由[1]我们知道，对于线性方程组Ax=b：当A为可逆矩阵时，有唯一解x=A-1b。当A不可逆，但b∈R（A）时，即rank（A）=rank（A，b）时，方程组的范数最小解为A（1，4）b。当A不可逆，但b？埸R（A）时，即rank（A）+1=rank（A，b）时，方程组的最小二乘解为A（1，3）b。更进一步，在求解线性方程组Ax=b时，范数最小的最小二乘解为x=A+b。由此可见，如何计算A+就非常重要。

2 计算A+的方法

参考文献：

[1]王国荣.矩阵与算子广义逆[M].北京：科学出版社，1998.

[2]北京大学.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2005.