极紫外波段变栅距光栅刻槽密度变化及光谱分辨能力分析

李文昊，姜岩秀，吴 娜，张 桐，王 鹍

(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春 130033)

1 引 言

同步辐射光源具有光谱连续、准直性高、亮度大等特点，还具有偏振以及脉冲时间结构，同时其光谱性能可预知并可精确调节，广泛应用于各科学研究领域［1-4］。由于要对传输到实验站的光源的光谱进行诊断，所以需要一个高分辨率的在线光谱仪。考虑到保持较高的能量传输特性和后续光束线传播，一般采用变栅距光栅作为该光谱仪的核心元件［5-8］。

全息曝光制作变栅距光栅的方法分为两种［9-11］，一种方法是球面波干涉曝光，另一种方法是非球面波干涉曝光。与球面波曝光相比，非球面波曝光增加了记录参数的自由度，理论计算可设计出与期望刻槽密度函数完全符合的变栅距全息光栅以消除高阶像差。但是非球面波曝光系统缺陷相对较多。在理论上，非球面波曝光系统的全息光栅理论公式存在较大的误差，导致理论模型与实际条纹分布不符［12-13］;在实际制作中，非球面曝光系统设计、加工及调试难度极大，工艺上不易实现，往往导致制作的变栅距全息光栅的刻槽密度函数与期望刻槽密度函数存在更大的误差。对于应用在同步辐射装置的变栅距光栅，由于只要求消除某些特定的像差，因此多数采用相对简单的曝光系统制作。球面波曝光光路仅有4个记录参数，工艺上实现调试精度相对容易，可得到符合设计要求的变栅距全息光栅。

球面波曝光系统调试简单，但是制作的光栅的刻槽是弯曲的。在对记录参数优化设计时，只能令光栅子午线上各点的刻槽密度设计值与期望值相符。本文分析了球面波曝光系统制作的不同宽度光栅的刻槽密度分布以及光谱分辨能力，为变栅距光栅的曝光系统的选择提供了依据。

2 曝光系统的优化设计

2.1 球面波曝光系统

图1为变栅距全息光栅的球面波记录光路图。球面波曝光系统通过C点和D点光源发出波长为λ0的两束相干球面波，以不同的角度入射在平面光栅基底G表面形成干涉场，光路示意图如图1所示。光栅基底G位于坐标系xyz中，其原点O为光栅基底中心，x轴平行于光栅表面法线方向，y轴垂直于光栅刻槽方向，z轴平行于光栅刻槽方向。记录光源C点和D点位于xOy平面内，C点到光栅中心的距离为rC，与光栅法线夹角为γ;D点到光栅中心的距离为rD，与光栅法线夹角为δ。即记录臂长分别为rC和rD，记录角度分别为γ和δ。γ和δ的正负分别由光线CO和DO决定，其在xyz坐标系下第一象限为正，第四象限为负。

图1 球面波曝光系统示意图Fig.1 Spherical wavefront recording system

从光程函数出发，根据球面波几何理论计算基底上任意一点的光程差，将费马原理应用到光程函数中，并对其进行级数展开，最终得到球面波曝光系统制作的变栅距光栅的刻线密度函数表达式［14］:

其中系数nij是关于曝光光路记录参数(γ，rC，δ，rD)的函数，具体数学形式为:

2.2 曝光光路的优化设计

光栅使用结构［8］如图2所示。平面变栅距光栅的作用是光谱的在线诊断，要求在100 nm处光谱分辨能力达到12 000。光束以α角入射到平面变栅距光栅表面，在各个使用波段其聚焦位置不共线，聚焦曲线拟合为一个圆形，具体使用要求为:使用波段为50～150 nm;中心刻线密度为600 gr/mm;面积为10 mm×30 mm;光谱级次 m=+1;入射角 α =87.6°;入臂 rA=19 000 mm;使用波长为100 nm时，出臂rB=1 500 mm。

图2 在线光谱仪使用结构示意图Fig.2 Optical layout of the online spectrograph

由上述的仪器使用要求，计算得到变栅距光栅期望的子午面刻槽密度函数表达式为［13］:

采用图1所示的球面波曝光系统设计并模拟变栅距全息光栅，式(3)为根据光谱仪器使用要求得到的平面变栅距光栅刻槽密度表达式。对变栅距全息光栅记录参数进行优化设计，选择合适的记录参数使制作出来的变栅距光栅的子午线上的刻槽密度函数在光栅有效区域内逼近式(3)。变栅距光栅刻槽密度函数是一个以4个记录参数为变量的多变量函数，需要建立以式(3)作为期望函数的变栅距光栅刻槽密度目标函数。使用光栅表面刻槽密度误差的平方和的形式来建立优化目标函数，得到目标函数表达式为:

使用改进局部算法对球面波曝光系统条件下的平面变栅距全息光栅进行优化设计。优化结果如表1所示。

表1 球面波曝光系统的记录参数Table1 Recording parameters of the plane VLS grating

根据优化结果绘制刻槽密度函数及其误差分布曲线，如图3和图4所示。由图可知，平面变栅距光栅的刻槽密度分布曲线在光栅有效区域基本重合，其设计值与期望值的绝对误差约为0～0.007 gr/mm，相对误差约为 1.2 × 10-5，刻槽密度符合程度较好，满足设计要求。

图3 刻槽密度函数分布曲线Fig.3 Groove density curve of VLS grating

图4 刻槽密度函数误差分布曲线Fig.4 Error curve of VLS grating between designed and expected groove density

3 光栅刻槽密度变化及光谱分辨能力分析

球面波曝光系统采用两个点光源发出的球面波在基底表面干涉曝光的方式来制作变栅距光栅。由几何光学原理可知，这种方法制作的变栅距光栅刻槽是弯曲的，因此只有光栅子午线的刻槽密度符合期望刻槽密度，其他平行于其子午线的光栅刻槽密度与期望存在一定的误差。变栅距光栅的刻槽密度函数决定光栅的光谱分辨能力，刻槽密度误差会直接降低光栅光谱分辨能力，因此有必要对球面波制作的平面变栅距光栅刻槽密度分布以及光谱成像进行分析。

3.1 光栅刻槽密度对比分析

由表1的记录参数以及式(1)和(2)可得，变栅距光栅期望和设计刻槽密度函数表达式分别为:

由式(5)中变栅距光栅期望和设计刻槽密度函数的对比可知，球面波曝光系统制作的变栅距光栅，在光栅表面上每条平行于子午线上的刻槽密度分布都是不同的，随着光栅表面y轴上的位置点l而变化。光栅刻槽密度如图5所示。

图5 弯刻槽光栅示意图Fig.5 Bending groove of grating

根据式(5)光栅期望和设计的刻槽密度函数计算在光栅有效区域内平行于子午线上的光栅刻槽密度分布曲线以及实际值与设计值的绝对误差曲线，如图6和图7所示。图6为z轴坐标分别为 -4，-2，0，2，4 mm，即 l=-4，-2，0，2，4 mm时的光栅刻槽密度分布曲线。图7为不同轴上各点光栅刻槽密度的绝对误差分布曲线。

图6 光栅刻槽密度分布Fig.6 Groove density curve of VLS grating

图7 光栅刻槽密度绝对误差分布Fig.7 Error curve of VLS grating between designed and expected groove density

由图6可知，不同轴上的刻槽密度分布曲线基本上成比例的对称分布，曲线变化主要为轴向平移，说明光栅刻槽密度误差主要是由中心刻槽密度引起。由图7可知，l=±2 mm时，刻槽密度误差绝对值为0.3 gr/mm;l=±4 mm时，刻槽密度误差绝对值为0.7 gr/mm。这说明z轴上的坐标值l越大，光栅刻槽密度的误差就越大。

由以上分析可知:(1)z轴上的坐标值l越大，刻槽弯曲引起的光栅刻槽密度的误差就越大;(2)对于宽度较小的光栅来说，刻槽弯曲主要影响不同轴上光栅的中心刻槽密度;(3)对于宽度较大的光栅来说，刻槽弯曲对中心刻槽密度以及与离焦相关的刻槽密度一次项系数n10的影响较大。

3.2 光栅光谱分辨能力对比分析

由费马原理可知，A点光源发出的光经过光栅在像平面上的B点会聚，光程函数满足:

即为完全消除像差，要求各项像差Fij=0。但是，在实际中不可能实现在光谱仪器的全工作波段完全消除像差，只能在光栅的设计时有针对性地消除主要像差，因此，光栅不可避免地存在一定的像差。由于像差的存在，光源发出的光经平面变栅距光栅后不会在成像面上呈现为理想的像点，在子午方向和弧矢方向分别会有谱线展宽和谱像加长。而谱线展宽会降低光谱分辨能力，谱像加长会降低仪器的光通量。因此，需要分析像差对分辨能力的影响。

根据瑞利准则［15］，任何光谱仪器的理论分辨能力为色散元件的角色散和有效孔径在子午面上宽度的乘积，因此根据光栅的角色散公式得到光栅的理论分辨率为:

衍射极限引起的波长差为:

由于像差的存在，光谱分辨率不仅由光栅自身的衍射极限所决定，还需要考虑像差对光谱分辨率的影响。像面子午方向上产生的位移偏移量为Δw，根据光栅线色散公式，子午方向上位移偏移量Δw引起的波长差可表示为:

因此，Δw引起的波长差为:

通常情况下，只考虑光栅的主要像差，包括离焦像差、慧差、球差和像散:

其中m为光栅衍射级次，d为光栅常数，W和L分别为光栅有效区域的半宽度和半长度。

综上所述，变栅距光栅自身的理论分辨率为:

理论分辨能力为:

由式(5)中设计的变栅距光栅刻槽密度函数可知，刻槽弯曲对离焦以及像散影响较大，因此我们根据式(12)和(13)计算离焦和像散像差对光栅带宽的影响。图8(a)为不同宽度下刻线弯曲引起的光谱带宽变化，图8(b)为不同宽度下对应的光栅光谱分辨能力的变化。

图8 刻线弯曲引起的光谱带宽变化(a)及其对光栅光谱分辨能力的影响(b)Fig.8 Effects of the bending degree of groove on the wavelength variation(a)and spectra resolution(b)

由图8可知，随着光栅宽度的增加，离焦和像散像差引起的带宽Δλ明显变大，降低了光栅的理论分辨能力。在50～150 nm波段，当光栅宽度为4 mm时，理论分辨能力高于14 000;当光栅宽度为10 mm时，理论分辨能力约为9 000，当光栅宽度为30 mm时，理论分辨能力急剧下降，约为3 000。光栅分辨能力的设计要求为10 000，所以宽度大于10 mm的光栅均未达到设计要求。

4 结 论

对采用球面波曝光系统制作的应用于50～150 nm波段的第四代同步辐射装置中的变栅距全息光栅的刻槽密度分布及光谱分辨能力进行了分析。结果表明，采用球面波曝光系统制作的变栅距光栅的刻槽是变间距且弯曲的，刻槽弯曲程度由记录参数和光栅的宽度共同决定。光栅的宽度越大，其刻槽弯曲程度就越大，即引起的刻槽密度误差越大，离焦和像散像差引起的带宽也越大。在50～150 nm的使用波段范围内，当光栅宽度为4 mm时，理论分辨能力高于14 000;当光栅宽度为30 mm时，理论分辨能力急剧下降，约为3 000，远低于设计要求。因此，球面波曝光系统只适合制作宽度较小的变栅距光栅。

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