运动增殖系统内中子引发持续裂变链的概率

王 喆，洪振英

（北京应用物理与计算数学研究所，北京100094）

在反应堆临界安全分析、反应堆的启动、脉冲堆爆发脉冲等待时间概率分布等工作中，都需要计算一个中子引发的持续裂变链概率，对反应堆状态进行分析和评估。中子裂变链概率是含裂变材料增殖系统的固有参量，其控制方程早在20世纪60年代由G.E.Hansen［1］和George I.Bell建立［2］，是与时间有关的类似Boltzmann方程伴方程形式的微分-积分方程。一直以来，在国内外相关领域的研究工作和工程应用中，主要是针对静态堆或动态系统各个时刻的固定状态进行稳态方程的求解［3-7］，直到2009年，方程的求解才见报道，Randal S.Baker在其文章中介绍了动态裂变系统中的裂变链概率演化计算结果［8］，但未考虑堆体材料的运动速度对计算结果的影响程度。中子与核发生碰撞反应时起作用的是相对运动能量，研究中子在核系统中引发的裂变链概率问题，应在随中子运动的坐标系中建立控制方程，严格（或近似）考虑中子与介质原子核的相对速度，才能更为合理地描述实际物理模型，提高计算结果的准确性［9］。

本文以全概率的思想直接建立初始源中子与后代中子引发裂变链概率的守恒关系，在拉格朗日坐标系中随体观察一团以速度v⇀在实验室系中运动的中子行为，结合中子与核的主要相互作用（包括未碰撞份额、散射、裂变及吸收），不考虑（n，xn）反应，得到相对速度空间（中子的实验室速度相对介质宏观流动速度）内一个中子引发的持续裂变链概率满足的与时间有关的微分-积分方程。在一维球对称坐标系下采用离散纵标（SN）方法进行数值求解。针对力学流场随时间变化的裂变系统，研究近似考虑流体运动时裂变链概率演化过程与不考虑流体运动时计算结果的差异。研究表明，在相对速度空间建立的含时微分-积分方程以及相应数值计算程序的开发，提高了对实际物理建模描述的合理性，对于具有膨胀和压缩等复杂运动形态的反应堆而言，当其体元的运动速度与10keV以上的中子速度相当时，近似考虑流体运动影响是必要的。

1 裂变链概率的微分-积分方程

在中子输运随机理论范畴内建立中子引发持续裂变链概率方程，需要描述中子在介质内输运过程中与周围原子核发生碰撞时的反应，为使问题简化，作如下基本假设：

中子被看做是一个点粒子，位置可以精确描述；忽略中子与中子之间的碰撞；中子是电中性的，在实验室系中，中子在介质内发生两次碰撞之间进行匀速直线运动；中子与原子核的碰撞过程与中子发射是瞬时的。

1.1 基本守恒关系

t时刻的初始中子未经碰撞运动到t′=t+Δt时刻而以一定的概率发生首次碰撞，t′时刻的后代中子包括发生碰撞时由散射与裂变发射的次级中子、未发生碰撞的初始中子，这些后代中子在tf时刻R区域内产生无穷多个中子，即为t′时刻的后代中子引发的持续裂变链概率；依据初始中子与后代中子的关系确定持续裂变链概率的守恒性，即初始源中子未引发的持续裂变链概率等于其后代中子未引发的持续裂变链概率，这就是本文建立关于一个初始中子引发的持续裂变链概率微分-积分方程的基本守恒关系。

一个初始中子引发的持续裂变链概率，由后代中子的核反应事件及后代中子引发的持续裂变链概率来确定，中子引发的持续裂变链概率是守恒的，这个求解问题是末值问题，其守恒方程建立与求解的过程同一般形式Boltzmann方程伴方程（价值方程）［10］相近。

1.2 微分-积分方程

一些特殊情况下，裂变材料的宏观运动速度与具有某些能量的中子运动速度同量级，在不考虑原子核微观热运动情况下需要考虑介质的宏观流体运动；中子与原子核的相互作用依赖于中子与原子核的相对运动能量，方程中涉及中子与介质原子核相互作用的项中，相应的微观总截面依赖于中子与原子核的相对运动速度，因此需要在相对速度空间建立守恒方程。

2 数值计算方法简述

表1 中心量与边界量符号Table 1 Signs of center and boundary variable

3 物理模型

Randal S.Baker给出了动态假想流场［8］，半径为17.25cm的球模型，材料为235U与238U的混合物，密度为15.0g·cm-3。两种同位素核在U材料中所占的质量百分比随时间变化的关系如下：

这里，CMOD是一个随时间变化的分段函数，通过这个参量可以改变U同位素组份，进而改变系统反应性，以此表征和模拟一个动态系统，如图1所示。

本文假设动态系统沿径向方向向外运动，裂变系统的反应性不同，系统向外膨胀的速度也不同，如图2所示，次临界状态下材料运动速度为0cm／μs，反应性达到最大时运动速度分别为30cm／μs、100cm／μs。速度随时间变化的情况如下：

当0μs≤t≤2μs时，V=0cm／μs；

当4μs≤t≤5μs时，V=30cm／μs（或100cm／μs）；

当2μs≤t≤4μs时，V从0cm／μs到30cm／μs（或100cm／μs）线性增长；

当5μs≤t≤7μs时，V从30cm／μs（或100cm／μs）到0cm／μs线性减小。

图1 动态系统的组份与临界度参数Fig.1 Concentration／criticality variation on dynamic system

图2 膨胀速度随时间变化曲线Fig.2 Curve of expand velocity with time

4 数值模拟结果

在第二临界点（t=7μs）附近，以该状态下系统的稳态解作为末态条件，计算裂变链概率的时间、空间、能量、中子角方向联合分布的动态演化过程，以归一化的源分布为权重计算裂变链概率联合分布的加权平均值，即一个中子引发的点火概率。计算公式如下：

源分布中裂变谱为Watt谱，空间均匀分布（rsource=rsphere），归一化条件为：

DSNP程序分别调用方程（6）与方程（7），实现近似考虑流体运动影响和不考虑流体运动影响的数值模拟过程，中子引发概率的计算结果如图3（a）、图4（a）所示，对于中子引发概率本身而言，裂变系统进入超临界状态以后，直到反应性达到最大时（3～6μs的时间区间），当流体速度达到30cm／μs时，近似考虑流体运动的计算结果比不考虑流体运动的结果高约6%～28%，流体速度达到100cm／μs时，二者差异约为20%～80%；图3（a）、图4（a）中6μs后出现尖峰，原因在于此处接近第二个临界状态点，位于扫描计算的起始部分，中子引发概率计算结果本身较低，约10-5～10-4量级，导致差异偏大，但不影响向前扫描计算结果的稳定性。

工程应用中，中子引发概率的作用表现在对时间的卷积计算结果上，计算公式如下：

如图3（b）、图4（b）所示，到第二临界点附近，当流体速度达到30cm／μs时，近似考虑流体运动的计算结果比不考虑流体运动的结果高约6%，流体速度达到100cm／μs时，二者差异约为24%；上述计算结果表明，是否考虑流体运动对计算结果的影响程度与流体速度有关，工程实践中遇到的物理系统可能具有膨胀和压缩并存的复杂运动形态，近似考虑流体运动的影响是必要的。

图3 V=30cm／μs时中子引发概率和卷积结果及差异Fig.3 Probability and cumulative probability of initiation and difference of results at V=30 cm／μs

5 结论

由于中子与物质原子核发生碰撞是相对运动速度和能量起作用，本文首次在相对速度相空间建立考虑流体宏观运动影响的中子引发概率微分-积分方程，该方程是普适的符合物理要求的。数值模拟结果表明，在流体速度与千电子伏中子运动速度（30cm／μs）相当时，近似考虑流体运动的中子引发概率与不考虑流体运动的结果相差近10%，如果外部加载较高能量导致流体速度更大（如接近100cm／μs），则中子引发概率计算结果的差别可能在20%左右。相对速度空间建立的理论方程和数值模拟程序，解决了考虑流体运动影响下的中子引发概率的求解问题，初步获得了流体运动速度对中子引发概率计算结果的影响程度。

图4 V=100cm／μs时中子引发概率和卷积结果及差异Fig.4 Probability and cumulative probability of initiation and difference of results at V=100 cm／μs

考虑流体运动的影响能够得到更为准确的裂变系统的中子引发概率，特别是引发概率的时间积分结果，因此本文建立的理论方法和开发的程序应用于实际工程问题，将会提高对于裂变系统中子引发概率的模拟准确度。

［1］ HANSEN G E.Assembly of Fissionable Material in the Presence of Weak Neutron Source［J］.Nuclear Science and Engineering，1960，8：709-719.

［2］ BELL G I.On the Stochastic Theory of Neutron Transport［J］.Nuclear Science and Engineering，1965，21：390-401.

［3］ BELL G I，LEE C E.On the Probability of Initiating a Persistent Fission Chain，LA-2608［R］.USA：Los Alamos Scientific Laboratory，1976.

［4］ HANNEBUTTE U，BROWN P N.Ardra：Scalable Parallel Code System to Perform Neutron and Radiation Transport Calculations，UCRLTB-132078［R］.USA：Lawrence Livermore National Laboratory，1999.

［5］ ALCOUFFE R E，BAKER R S，TURNER S A，et al.PARTISN：A Time-Dependent Parallel Neutral Particle Transport Code System，LAUR-02-5633［R］.USA：Los Alamos National Laboratory，2002.

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［8］ BAKER R S.Deterministic Methods for Time-Dependent Stochastic Neutron Transport［C］／／International Conference on Mathematics，Computational Methods ＆Reactor Physics（M＆C2009）.New York：American Nuclear Society，2009.

［9］ 谢仲生，邓力.中子输运理论数值计算方法［M］.西安：西北工业大学出版社，2005：318-326.

［10］ 黄祖洽.核反应堆动力学基础（第二版）［M］.北京：北京大学出版社，2007：373-386.