闫飞一, 郑红婵
(西北工业大学理学院应用数学系,陕西 西安 710129)
非静态混合细分法
闫飞一, 郑红婵
(西北工业大学理学院应用数学系,陕西 西安 710129)
提出了一种含参数b的非静态Binary混合细分法,当参数取0、1时,分别对应已有的非静态四点C1插值细分法及C-B样条细分法。用渐进等价定理证明了对任意 (0,1]区间的参数其极限曲线为C2连续的。从理论上证明了细分法对特殊函数的再生性,及其对圆和椭圆等特殊曲线的再生性,并通过实验对比说明了对任意的[0,1]区间的参数,该细分法都能再生圆和椭圆等特殊曲线,而与其渐进等价的静态细分法则不具备该性质。将该细分法推广为含局部控制参数的广义混合细分法,从而可以达到局部调整极限曲线的目的。
非静态混合细分法;C-B样条;圆,椭圆;局部参数
细分过程定义了一种在初始多边形(网格)上按照一定的细分规则通过不断加细而得到的光滑极限曲线(曲面),按照细分规则是否随着细分次数的变化而改变,可将细分法分为非静态细分法和静态细分法;按照极限曲线是否经过初始控制顶点,又可将其分为插值细分法和逼近细分法。在几何外形设计和机器制造中,圆、椭圆等特殊曲线具有特别重要的地位,而大多数静态细分法不能精确构造这些特殊曲线,所以能够再生这些特殊曲线的非静态细分法成为近年来研究的热点。
由文献[1-5]可知,用非静态插值细分法可再生圆、椭圆、心形线及其他圆锥曲线等。此外,文献[6-8]介绍了圆、椭圆等特殊曲线的非静态逼近细分生成方法。逼近细分法通常具有更高的连续性,而插值细分法则可以更好地逼近初始多边形。在一定条件下,两种细分法可以相互转化甚至共同包含于一个混合细分法。文献[9-10]提到几种插值和逼近细分法相互转换的方法。文献[11-12]给出两种静态混合细分法,随着参数的改变可得到包含插值和逼近的细分曲线。但上述混合细分法不具备再生圆、椭圆等特殊曲线的性质。Jeong等[13]通过类指数样条法构造出一类含参数的非静态细分法,在特殊参数下该细分法可为插值细分法或逼近细分法,且其极限曲线可再生圆、螺线等。本文提出另外一种可以再生特殊曲线的非静态混合细分构造法,并将其推广到含局部控制参数的广义混合细分法。
本节在C-B样条细分法及由其推导出的一个非静态四点插值细分法基础上,构造一个非静态混合细分法。
1.1 由 C-B样条细分法得到非静态四点插值细分法
按照文献[5]提出的生成多项式方法,可由细分法式(1)的生成多项式
构造一种非静态四点插值细分法。首先引入一个2次多项式 w
k
(z)满足 w
k
其中
且:
1.2 一种非静态Binary混合细分法
图1 C-B样条细分法式(1)和插值细分法式(3)之间的关系
从而,可以将细分法式(1)改写为:
将细分法式(3)改写为:
进一步引入参数b∈[0,1],结合式(4)~(5)可得到一个非静态混合细分法:
注:当k→∞时细分法式(6)收敛于静态混合细分法:
引理 1. 式(7)所表示的静态细分法Sa的生成多项式为其中,
引理 2. 式(6)所表示的非静态细分法 Sak的
证明. (1)由三角函数性质易证
(2) 按照同样的方法,易证式②成立。
引理4. 对任意的b∈(0,1],生成多项式 h(z)式(8)所对应的细分法Sh是C1连续的。
证明. 记Sh的一阶差分细分法为其生成多项式为
因为:
从而由渐进等价定理[15]及细分法S的连续性与其一阶差分细分法的收敛性之间关系[16]可知引理4成立。
引理 5. 生成多项式 hk(z)式(8)所对应的细分法是C1连续的。
证明. 由引理3可得:
进而由渐进等价定理[15]得是C1连续的,故引理5得证。
定理1. 当b∈(0,1]时,式(6)所表示的非静态细分法是C2连续的;当b=0时,其为C1连续。
证明. 根据非静态细分法 Cm连续的充分条件[16],可得当b∈(0,1]时,是C2连续的;又当b= 0时,其为已知的C1连续的非静态四点插值细分法[1],故定理1得证。
本节将证明非静态混合细分法式(6)可再生圆和椭圆等特殊曲线。
由细分规则式(3)、(11)易得知:
类似地,可证:
引理9. 选取圆r=R上等距分布点:
为初始控制顶点,则由混合细分法式(6)所得的极限曲线为圆
图2(a)~(b)分别表示由非静态混合细分法式(6)及静态混合细分法式(7)细分 8次后所生成的细分曲线,从外到内分别表示b取0、0.4、0.8、1.0时所得的细分曲线。在同一参数下,横向对比图2(a)和图2(b),不难发现细分法式(6)可以再生圆,在不同参数下,纵向对比图2(a)中极限曲线,可以看出再生圆的半径与参数b的大小成反比。
图2 由非静态式(6)及静态式(7)细分法细分8次后所得的曲线(从外到内b分别取0、0.4、0.8、1.0)
图3给出了图2中细分曲线相对应的曲率图。由于对任意的b∈[0,1]细分法式(6)都可以再生圆,所以其细分曲线的曲率处处相等,如图 3(a)~(d)所示,而细分法式(7)不能再生圆,因而其细分曲线不满足任意两点处曲率相等,且曲率总是在控制点处达到最大值(如图3(a′)~(d′))。
图3 图2中细分曲线相对应的曲率图
图4刻画了局部参数对混合细分法式(12)的极限曲线的影响,其中黑线表示初始网格,蓝线表示由细分法式(12)细分10次后生成的细分曲线。图4(a)中令所有顶点参数为0,其细分曲线插值所有的初始点;图4(b)中所有顶点参数取为1,其细分曲线逼近所有的初始点;图4(c)中相邻两个顶点参数分别为0、1,细分曲线则间隔地插值初始点;图4(d)~(f)表示对初始点选取[0,1]内不同的参数,极限曲线将随之改变。
图4 局部参数对混合细分法式(12)的极限曲线的影响
本文提出了一种Binary非静态混合细分法,证明了其C2连续性及其对函数和特殊曲线的再生性,并将该细分法推广到了含局部参数的广义混合细分法,通过实验对比说明了该细分法具有再生圆、椭圆等特殊曲线的能力,并用实例说明了含局部参数的广义混合细分法能够实现局部插值。在未来的工作中,可以考虑其他特殊曲线及球、椭球等特殊曲面的细分法实现问题。
[1] JenaM K,Shunmugaraj P, Das P C. A non-stationarySubdivisionScheme for curve interpolation [J]. Anziam Journal, 2003,44: 216-235.
[2] DanielS,Shunmugaraj P. An interpolating 6-point C2non-stationarySubdivisionScheme [J]. Journal of Computational and AppliedMathematics, 2009 230(1): 164-172.
[3] Beccari C, Casciola G, Romani L. An interpolating4-point C2ternary non-stationarySubdivisionScheme with tension control [J]. Computer Aided Geometric Design, 2007, 24(4): 210-219.
[4] Beccari C, Casciola G, Romani L. A non-stationary uniform tension controlled interpolating4-poinScheme reproducing conics [J]. Computer Aided Geometric Design, 2007, 24(1): 1-9.
[5] Romani L. From approximatingSubdivisionSchemes for exponential splines to high-performance interpolating algorithms [J]. Journal of Computationa and AppliedMathematics, 2009, 224(1): 383-396.
[6] DanielS,Shunmugaraj P. An approximating C2non-stationarySubdivisionScheme [J]. Computer Aided Geometric Design, 2009, 26(7): 810-821.
[7]SiddiqiSS, YounisM. Ternary three point non-stationarySubdivisionScheme [J]. Research Journal of AppliedSciences, Engineering and Technology, 2012,4(13): 1875-1882.
[8]SiddiqiSS, YounisM. A five-point C4non-stationarySubdivisionScheme [J]. Journal of Basic and AppliedScientific Research, 2013, 3(1): 53-61.
[9] LinS, You F, Luo X, et al. Deducing interpolatingSubdivisionSchemes from approximatingSubdivisionSchemes [J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(5): 1-7.
[10] Beccari C V, Casciola G, Romani L. A unified framework for interpolating and approximating univariateSubdivision [J]. AppliedMathematics and Computation, 2010, 216(4): 1169-1180.
[11] Pan Jun, LinShujin, Luo Xiaonan. A combined approximating and interpolatingSubdivisionScheme with C2continuity [J]. AppliedMathematics Letters, 2012, 25(12): 2140-2146.
[12] Li Xin, Zheng Jianmin. Interproximate curveSubdivision [J]. Journal of Computational and AppliedMathematics, 2013, 244(5): 36-48.
[13] Jeong B, Lee Y J, Yoon J. A family of non-stationarySubdivision schemes reproducing exponential polynomials [J]. Journal ofMathematical Analysis and Applications, 2013,402: 207-219.
[14] Zhang Jiwen. C-curves: an extension of cubic curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 1996, 13(3): 199-217.
[15] Dyn N, Levin D. Analysis of asymptotically equivalent binary subdivision schemes [J]. Journal ofMathematical Analysis and Applications, 1995, 193(2):594-621.
[16] Dyn N.SubdivisionSchemes in CAGD [J]. Advances in Nnumerical Aanalysis, 1992, 2: 36-104.
Non-Stationary BlendingSubdivisionScheme
Yan Feiyi, Zheng Hongchan
(Department of AppliedMathematics,School ofSciences, Northwestern Polytechnical University, Xi′anShaanxi 710129, China)
A non-stationary blending BinarySubdivisionScheme with a parameter is presented first in this paper. Existing four-point C1interpolating non-stationaryScheme and C-BSplineSubdivisionScheme areSpecial cases of thisSubdivision when the parameter is 0 and 1 respectively. The limit curve of theScheme is C2with any parameter in the interval (0,1], which is proved by using the theory of asymptotic equivalence. Then the abilities of theScheme with any parameter in [0,1] to reproduceSpecial functions andSomeSpecial curves,Such as circle and ellipse, are analyzed, and comparisons with the correspondingStationarySchemes are also given to better demonstrate it. At last, a generalized non-stationary blendingScheme with local control parameter is proposed, which allows local adjustment of the limit curves.
non-stationary blendingSubdivisionScheme; C-BSpline; circle, ellipse; local parameter
TP 391.6
A
2095-302X(2015)02-0178-08
2014-07-13;定稿日期:2014-09-07
国家自然科学基金资助项目(61070233)
闫飞一(1992–),女,河南平顶山人,硕士研究生。主要研究方向为计算几何、计算机辅助几何设计。E-mail:happy01fly@163.com通讯作者:郑红婵(1971–),女,陕西西安人,教授,博士。主要研究方向为计算几何、计算机图形学、计算机辅助几何设计。E-mail:zhenghc@nwpu.edu.cn