时变时滞不确定奇异摄动系统的保性能控制

孙凤琪

(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)

时变时滞不确定奇异摄动系统的保性能控制

孙凤琪

(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)

为了保持鲁棒稳定且满足一定的性能指标要求，对具有范数有界不确定性参数的不确定时滞奇异摄动控制系统，进行保性能控制分析。利用Lyapunov稳定性理论及矩阵分析方法，设计系统二次性能指标，构造了Lyapunov-Krasovskii泛函，给出了系统鲁棒稳定的充分条件求解定理以及状态反馈保性能控制律，得到了性能指标最小上界，均用线性矩阵不等式形式给出。数值样例表明，该方法对所研究系统保性能控制有效，可推广到多状态滞后以及时变滞后的不确定系统的保性能控制问题。

时滞系统;线性矩阵不等式;Lyapunov-Krasovskii泛函;时滞依赖;保性能控制率;最优控制;Schur补引理

0 引 言

随着工业制造业的大规模发展，自动控制理论的应用越来越广泛［1］，近年来，己经形成以计算机为管理控制中心、自动控制系统为主导的高复杂性的工业控制体系［1-3］，其控制技术己广泛融入到人们的日常生活中。

以最优控制为核心的现代控制理论形成了众多的分支［4］，其中包括:最优次优控制、保性能控制、自适应控制、鲁棒控制、预测控制以及智能控制等。其中保性能控制，既实现某些期待的性能控制指标，又保证了性能要求而受到普遍重视。

在设计控制系统时，由于种种原因，想要得到系统在外界干扰下的精确数学模型是不可能的。系统的不确定性是普遍存在的，比如控制对象的模型化误差和未知参数以及传感器噪声和外部扰动等。因此，控制系统的分析与实现，必须考虑存在未知不确定性的情况下，系统是否仍能稳定并满足所希望的性能要求。即实际系统模型中不仅含有时滞，还含有不确定性，这类系统统称为时变时滞不确定系统［5］。

文献［6］研究了定常时滞奇异摄动系统的保性能控制问题，而笔者研究了含时变时滞的不确定奇异摄动控制系统的保性能控制(GCC:Guaranteed Cost Control)问题。

1 时变时滞不确定奇异摄动控制系统

考虑下列系统

其中D、E1、Ed是已知的适当维数的实常矩阵，表示不确定性的结构信息，d(t)是时变时滞可微函数，满足条件

这里τ和μ是已知常数。F(t)∈Ri×j是范数有界的不确定系统模型参数矩阵，具有如下结构

其他条件与文献［6］中系统(1)相同。性能指标设为

2 保性能控制

定理1 给定¯ε＞0，对于系统(1)和性能指标(2)，若存在适当维数的矩阵K，对称正定矩阵S＞0，M＞0和Zi(i=1，2，…，5)且Zi=ZiT(i=1，2，3，4)，满足下列LMIs条件

其中“*”代表对角位置处矩阵的转置。

其中

则u(t)=Kx(t)即为系统(1)的一个状态反馈保性能控制律，并且闭环性能指标满足J≤J*。其中

把V(x(t))沿着闭环系统(3)的任意轨迹进行微分，得

其中

由已知式(7)、式(8)得

即

故有

证毕。

与文献［7］中的式(7)作类似推理，可得

式(10)关于变量是线性的，即得如下定理。

3算 例

例1 考虑系统(1)，其中取

设μ=0．1，τ=1，¯ε=0．2．应用定理2，可以得到

则

就是系统(1)的一个状态反馈保性能控制律，并且闭环性能指标满足J≤J*，其中

若在系统(1)中把E(ε)去掉，则系统就变为一般状态下、带有控制输入的变时滞控制系统

对该系统的稳定性研究已在文献［7］解决。至于该系统的保性能控制，只需把式(2)中Z(ε)改为

形式，相应修改L-Y泛函，再作类似推导即可，在此不再赘述。

4 结 语

笔者对时变时滞奇异摄动系统的保性能控制进行了研究，设计一种新的无记忆二次L-Y性能指标，利用Lyapunov稳定性理论以及矩阵分析方法，得到了闭环系统时滞相关情况下的状态反馈保性能控制律和性能指标上界，最后，用数值样例说明该方法的优越性和可行性。

此外，该方法可为多状态滞后不确定系统［8-15］的保性能控制问题的研究提供理论参考。

［1］张霓，吴铁军.一类不确定混杂动态系统的保性能控制及其应用［J］.华东理工大学学报，2002，28(4):435-440. ZHANG Ni，WU Tiejun.Guaranteed Cost Control and Applications of for a Class of Uncertain Hybrid Dynamic Systems［J］. Journal of Huadong University of Technology，2002，28(4):435-440.

［2］CHANG SS L，PENG T K C.Adaptive Guaranteed Cost Control of Systems with Uncertain Parameters［J］.IEEE Trans Automatic Control，1972，17(4):474-483.

［3］MAGDMA H，MOMAHE D Z.Guaranteed Cost Observer-Based Control of Uncertain Time-Eystems［J］.Computers and Electrical Engineering，2003，29:193-212.

［4］LUO JS.Min-Max Guaranteed Cost Control for Linear Systems with Parameter Uncertain-Riccati Equation Approach［M］. Chicago ALA:［s.n.］，1993:51-54.

［5］孙超君.不确定非线性时滞系统保性能控制研究［D］.大连:中国海洋大学信息科学与工程学院，2004:33-41. SUN Chaojun.Guaranteed Cost Control for Nonlinear Time Delay Systems［D］.Dalian:College of Information Science and Engineering，Ocean University of China，2004:33-41.

［6］孙凤琪.时不变时滞奇异摄动控制系统的保性能控制［J］.吉林大学学报:信息科学版，2012，30(5):456-461. SUN Fengqi.Guaranteed Cost ControI of Linear Uncertain Time-Invarying Time Delay Singulerly Perturbered Systems［J］. Journal of Jilin University:Information Science Edition，2012，30(5):456-461.

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［10］CHANG S S L，PENG T K C.Adaptive Guaranteed Cost ControI Systems with Uncertain Parameters［J］.IEEE Trans Automatic Control，1972，17(4):474-483.

［11］YU Li.Delay-Dependent Optimal Guaranteed Cost ControIof Time-Delay Chaotic System［J］.Journal of Zhejiang University of Technology，2008，36(1):52-56.

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［13］CLLOIH H，CHUNGM J.Memoryless Stabilization of Uncertain Systemswith Time-Varying Delayed States and Controls［J］. Automatica，1995，31:1349-1351.

［14］GLIZER V Y.Euclidean Space Controllability of Singularly Perturbed Linear Systems with State Delay［J］.System Control Letters，2001，43:180-191.

［15］KIM Y J，LIM M T.Composite Control for Singularly Perturbed Bilinear Systems via Successive Galerkin Approximation［J］. IEE Proceedings.Control Theory and Applications，2003，150(5):483-488.

(责任编辑:张洁)

Guaranteed Cost Control for Singularly Perturbed Uncertainty Control Systemswith Time-Varying Time-Delay

SUN Fengqi

(Department of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China)

In order to maintain robust stability while meeting certain performance index requirements，the problem of guaranteed cost control for time-varyiong time delay singularly perturbed systems with norm bounded uncertainty parameters is discussed.Using Lyapunov stability theory andmatrix analysismethod，based on a new quadratic L-Y performance index，the sufficient quadratic stability conditions，state feedback guaranteed cost control rate and the guaranteed cost index is presented by showed LMIs，and the minimum performance indication upper bound is derived.Themethod of the dissertation can be extended tomulti-state delay uncertain systems guaranteed cost control problems，the numerical examples are employed to elaborate that thismethod is effective.

time-delay system;linear matrix inequality(LMI);Lyapunov-Krasovskii functional;delaydependent;guaranteed cost control law;optimal control;Schur complement Lemma

TP2

A

1671-5896(2015)06-0637-07

2015-03-20

中国高校基本科研基金资助项目(N100406010)

孙凤琪(1968— )，女，吉林桦甸人，吉林师范大学教授，博士，主要从事时滞奇异摄动控制系统稳定性研究，(Tel)86-13604346519(E-mail)jlsdsfq@163.com。