基于数据拟合的RM 215测厚仪测量曲线标定研究

王小波

（湖南华菱涟源钢铁有限公司信息化中心，湖南 娄底 417009）

金属板带加工过程中，板带厚度和板带尺寸控制是极为重要的控制目标，其中金属板带的厚度控制往往和板带加工的质量直接挂钩，具有高精度厚度控制的板带产品不仅在市场竞争中处于有利地位，同时也可以增加产品的附加值。而板带厚度控制中极为重要的一环就是加工过程中的板带厚度检测问题，精确的板带厚度检测是高精度厚度控制的基础[1]。

X射线测厚仪由于具有非接触、连续、快捷、无损伤检测，且能够适用于高油污、高温恶劣环境的优点，被广泛应用于板带轧制过程。但在实际使用过程中，X射线测厚仪的检测精度受现场的X射线源稳定性、合金成分、带钢位置、油污水分等的影响。因此需要对X射线的测量曲线进行校正或者补偿[2]。

针对板带加工测量过程中的X射线测厚仪补偿和校正问题，为提高检测的精度和稳定性，一些学者和工程师做了相关的研究工作。文献[3]系统地分析了X射线测厚仪射线强度、统计误差以及被测物的材质、温度、表面附着水层、倾斜角度等对测厚精度的影响并给出了理论上的精度修正方法。其后，在文献[4]中给出了X射线测厚仪应用实例以及在国内的应用情况。文献[5]结合X射线测厚仪测量原理，着重分析了射线稳定性、合金材质、带钢位置以及环境对测量精度的影响并给出了理论补偿方法。文献[6]和文献[7]从具体的应用出发，介绍了工业应用现场中，对X射线测厚仪的精度补偿方法。而针对具体使用过程中的精度维护过程，文献[8]介绍了了实际生产过程中对X射线测厚仪的维护方法，以保证X射线测厚仪满足精度要求。

从上述文献中可以得知，在实际应用过程中，要完成对X射线测厚仪的理论测量曲线绘制和测量精度补偿是一项较为复杂的过程。另外，由于使用场景的不同以及环境的影响，一次的理论计算并不能够长期使用。因此需要寻求一种快捷方便而又具备一定程度精度保证的测量曲线绘制与精度补偿方法。

为解决上述问题，本文结合涟钢RM215X射线测厚仪在冷轧过程的具体应用实例，提出一种基于数据的X射线测厚仪测量曲线绘制与精度补偿方法，并依据现场的实际检测数据给出具体的应用过程。

1 基于数据的X射线测厚仪检测模型

X射线测厚仪的基本原理为：当X射线穿过物体时光谱区辐射将被改物体的材料削弱。如图1所示，X射线测厚仪发射辐射强度为I0，通过厚度为x的材料后的辐射强度为I，对于特定能量或波长，发射的辐射量和通过材料的的辐射量用下式给出：

式中：I0为X射线的入射辐射强度；I为通过厚度为x的样片后的辐射强度；u为样片材料的线性吸收系数；p为样片材料密度；x为样片厚度。其中，吸收系数u是材料对X射线进行衰减的能力的量度，是一个复杂的函数，并且随着能量的衰减而非线性地减小。它取决于两个因素：材料的化学组成以及X射线的能量。

图1 X射线测厚仪测量社示意图

根据测厚仪的测量原理，测厚仪传感器的电压信号强度V与X射线接收强度I有如下式所示的关系。

将式（2）代入式中可以得到样片厚度与测厚仪传感器电压信号之间的关系式。

在V0已知下，可得到如式（4）所示的一般表达式

由于u是与发射管电压和材质原子序数相关的复杂的非线性表达式，所以a也是一个复杂的非线性表达式。

根据文献[3]的理论分析，在冷轧现场，安装在固定位置，选取合适的入射强度，配置稳定的电源之后，X射线测厚仪的检测精度还受统计误差、材质吸收系数u以及环境的温度、湿度、带材表面附着物的影响。其中，统计误差与材质吸收系数、板材厚度具有复杂的非线性函数关系，材质吸收系数u反比于管电压V的3次方，正比于被测物原子序数的3次方，而环境对检测精度的影响，理论分析则更为困难。

依据上述分析，要完成理论上的X射线测厚仪理论测量曲线绘制和精度修正是极为困难的。实际上，即使完成理论上的计算与修正，在实际应用时还需要根据具体检测情况进行精度的补偿。在这种情况下，考虑到在设备完成安装后，上述对X射线测厚仪精度影响的各个因素在相当长的一个时期内都不会发生大的变化，因此可以使用基于标准检测数据的数据建模方法来实现X射线测厚仪的测量曲线绘制工作。

上述分析表明在公式表达式a为一个三阶以上非线性表达式，而常量b为与具体安装环境相关的补偿阈值。经过数据与机理的综合分析，这些复杂非线性关系可以采用5阶多项式来描述：

其中，z=-1（V）.

通过机理分析，得到上述X射线检测仪检测曲线模型的模型结构，但是其中的相关参数还需要通过现场的标准检测数据进行辨识，通过数据的训练得到完整的检测曲线模型。

2 基于最小二乘的多项式系数辨识方法

对上一节建立的X射线测厚仪检测模型结构分析表明，模型为典型的多项式系数辨识问题。针对多项式系数辨识问题，最小二乘多项式拟合方法计算相对较为简单，并且能够得到较为精确的结果，因此本节采用最小二乘多项式拟合方法辨识检测模型中的系数。

2.1 最小二乘法基本原理

从整体上考虑近似函数p（x）同所给数据点（xi，y）i（i=0，1，…，m）误差ri=p（x）i-yi（i=0，1，…，m）的大小，常用的方法有以下三种：一是误差ri=p（x）i-yi（i=0，1，… ，m）绝 对 值 的 最 大 值，即误差向量 r=（r1，r2，…，rm）T的∞-范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r

数据拟合的具体做法是：对给定数据（xi，yi）（i=0，1，…，m），在取定的函数类 Φ 中，求 p（x）∈Φ，使误差ri=p（xi）-yi（i=0，1，…，m）的平方和最小，即

从几何意义上讲，就是寻求与给定点（xi，yi）（i=0，1，…，m）的距离平方和为最小的曲线 y=p（x），如图2所示。函数p（x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p（x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法。

图2 曲线拟合示意图

2.2 最小二乘多项式拟合

假设给定数据点（xi，yi）（i=0，1，…，m），Φ为所有次数不超过n（n≤m）的多项式构成的函数类，现求一使得

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（7）的pn（x）称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

显然式为a0，a1，…an的多元函数，因此上述问题即为求I=I（a0，a1，…an）的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得式（9）为关于 a0，a1，…an的线性方程组，用矩阵表示为：

该式（9）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（10）中解出ak（k=0，1，…，n），从而可得多项式可以证明，式（11）中的p（nx）满足式（7），即p（nx）为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式p（nx）的平方误差，记作

由式（8）可得：

在实际应用中，n＜m或n≤m；当n＝m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。通过上述多项式拟合方法，在给定标准测量数据基础上，即能够计算得到确定的X射线检测曲线。

2.3 最小二乘拟合多项式的存在唯一性

为论证最小二多项式拟合的解具有唯一性，给出如下两个定理。

定理1设节点x0，x1，…，xn互异，则法方程组（10）的解存在唯一。

证：由克莱姆法则，只需证明方程组的系数矩阵非奇异即可。

用反证法，设方程组（10）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组为：

上式有非零解。式（14）可写为

将式（15）中第 j个方程乘以 aj（j=0，1，…，n），然后将新得到的n+1个方程左右两端分别相加，得：

式中，pn（x）是次数不超过n的多项式，它有m+1>n个相异零点，由代数基本定理，必须有a0，a1，…an＝0，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（14）必有唯一解。

定理 2：设 a0，a1，…an是正规方程组（14）的解，则是满足式（7）的最小二乘拟合多项式。

证：只需证明，对任意一组数b0，b1，…bn组成的多项式恒有

因为 ak（k=0，1，…，n）是正规方程组（14）的解，所以满足式（8），因此有

故pn（x）为最小二乘拟合多项式。

上述证明表明，在给定足够的不具备线性相关辨识数据情况下，总能得到唯一的检测模型唯一解。

3 基于数据的X射线测厚仪检测模型应用

在涟钢冷轧生产现场按照要求安装完RM215型X射线测厚仪后，采用本文的方法绘制该测厚仪的测量曲线，具体的过程如下。

首先，根据九个材料样片标准件插入到X射线源发射的光束中进行测量，得到表1所示的标准测量数据，后续将利用该标准测量数据对测量模型进行参数辨识。

表1 测厚仪标准样片测量数据

根据测厚仪的测量原理，X射线的实际入射辐射量和穿过样板后的实际接收辐射量加上X射线在空气中的衰减辐射量等于X射线的入射辐射量与接收辐射量的测量值，所以把表1转化成表2所示的X射线实际入射与接收辐射量。

表2 X射线实际入射与辐射强度

根据式把表2数据转化成表3所示的数据。

表3 样片标准厚度与射线强度比值对照

利用表3中的9组值辨识测试模型中的系数，可以得到如下式方程组：

对式中各项相加得到下式：

式（24）~（29）是由公式（23）线性变换得到的，所以公式（24）~（29）与公式（23）是线性相关的，由线性相关性定理知公式（24）~（29）的解也是公式（23）的解。

将表4中的数据代入公式~列表如下：

表4 方程求解值表

解得多项式：

式（31）即为拟合得到的测量曲线，调整完拟合曲线，生成拟合修正值，写入对应程序参数当中。这样测厚仪的测量曲线基本完成。现场的应用表明，采用该方法得到的X射线测厚仪测量曲线能够满足现场的应用需求，生产的冷轧板材厚度控制精度高且稳定。

4 结束语

本文在分析X射线测厚仪检测原理基础上，指出实际生产现场影响测厚仪检测精度的影响因素。根据分析的结论，给出一种通过标准检测数据建立测厚仪检测模型的数据驱动建模方法。通过建立的模型能够完成测量曲线的绘制与精度补偿。最后，通过涟钢冷轧厂的实际应用实例表明该方法具有可操作性，且得到的测量曲线能够满足现场的精度要求，具备实用价值。

[1]赵春红，赵检罗.X射线测厚仪的应用与改进[J].涟钢科技与管理，2008 ，（4）：27-29.

[2]马竹梧.穿透式X射线测厚仪及其在冶金工业中的应用[J].计量装置及应用，2010，20（6）：25-25.

[3]马竹梧.X射线测厚影响因素分析,技术进展及其在冶金工业中的应用（上）[J].冶金自动化，2011，35（1）:1-5.

[4]马竹梧.X射线测厚影响因素分析,技术进展及其在冶金工业中的应用（下）[J].冶金自动化，2011，35（2）：1-3.

[5]魏 鹏，方伟崭.X射线测厚仪测量精度影响因素及补偿措施[J].自动化仪表，2011，32（1）：17-18.

[6]陈德斌，胥福顺，栾争位.影响X射线测厚仪测量精度的因素及维护方法[J].轻合金加工技术，2009，37（4）：38-40.

[7]张晓春.X射线测厚仪在热轧板带中的应用[J].自动化仪表,2013，35（2）：88-91.

[8]陈德斌，胥福顺，栾争位.影响X射线测厚仪测量精度的因素及维护方法[J].轻合金加工技术，2009，37（4）：38-40.