Newell方程的精确解

谢元喜

(湖南理工学院 物理与电子学院,湖南 岳阳 414006)

Newell方程的精确解

谢元喜

(湖南理工学院 物理与电子学院,湖南 岳阳 414006)

分别用双曲正切函数展开法和改进的试探函数法简洁地求得了Newell方程的精确解.

Newell方程; 精确解; 双曲正切函数展开法; 改进的试探函数法

寻求非线性演化方程的精确解是当前非线性数学物理中引人入胜的课题.目前已有许多学者致力于这方面的研究,并提出了许多求非线性演化方程精确解的好方法,如非线性变换法[1]、双曲正切函数展开法[2]、齐次平衡法[3]、试探函数法[4]、改进的试探函数法[5]、辅助常微分方程法[6]、组合法[7]等等.然而,由于非线性演化方程求解的固有困难,目前还没有一种比较统一的和系统的求解非线性演化方程的方法,因此,继续寻找一些有效可行的方法仍是一项非常重要的工作.

本文分别用双曲正切函数展开法和改进的试探函数法求得了Newell方程的精确解.

1　Newell方程的解

Newell方程是非线性数学物理中一个十分重要的方程[8],它在流体力学、海岸波浪的模拟、电磁场中带电粒子的非线性运动、孤波在介质中的传播、一维非线性晶格的振动等领域中有着十分广泛的应用.其一般形式为

尽管Newell方程(1)是非线性数学物理中一个非常重要的方程,但目前尚无人求出其精确解.下面尝试求其精确解.为了印证解的正确性,我们采用两种方法来求其精确解.

1.1双曲正切函数展开法

为了避免冗长和繁琐,双曲正切函数展开法在此不再赘述,对此感兴趣的读者可详细查阅参考文献[2].

将(2)式代入(1)式得一关于tanhξ的多项式,并令各tanhξ前的系数等于零,可得如下一组超定非线性代数方程

因为a0为任意常数,不妨令,由(2)式可求得Newell方程(1)的精确解为

1.2改进的试探函数法

为行文简洁,改进的试探函数法在此不再赘述,对此感兴趣的读者可详细查阅参考文献[5].

对于方程(1),选取试探函数v=aln(b+w2),其中a、b为待定常数.

根据文献[5]的方法容易求得

代入(1)式,得一关于w的多项式,并令各w的系数等于零,可得如下一组超定非线性代数方程

显然,解(5)与解(3)完全一致,这说明我们所求得的解确是Newell方程(1)的精确解.

2　结论

Newell方程是非线性数学物理中一个十分重要的方程,本文用两种方法,即双曲正切函数展开法和改进的试探函数法,分别求得了Newell方程的精确解,所得结果完全一致.

[1] Otwinowski M,Paul R and Laidlaw W G.Exact travelling wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by reduction to a quadrature [J].Physics Letters A,1988,128:483～489

[2] Parkes E J and Duffy B R.Travelling solitary wave solutions to a compound KdV-Burgers equation [J].Physics Letters A,1997,229:217～220

[3] Fan E G and Zhang H Q.The homogeneous balance method for solving nonlinear soliton equations [J].Acta Phys Sin,1998,44:353～370

[4] Fu Z T,Liu S D and Liu S K et al.New solutions to generalized mKdV equation [J].Communication in Theoretical Physics,2004,41:25～28

[5] 谢元喜.几个非线性演化方程的精确解[J].湖南理工学院学报,2007,(3):50～55

[6] Xie Y X and Tang J S.A unified approach in seeking the solitary wave solutions to sine-Gordon type equations [J].Chinese Physics,2005,14 (7):1303～1306

[7] Xie Y X.A combination method and its applications to nonlinear evolution equations [J].International Journal of Modern Physics B,2012,26 (16):1250110-1～1250110-10

[8] 李志斌.非线性数学物理方程的行波解[M].北京:科学出版社,2007

Novel Solutions for the Newell Equations

XIE Yuan-xi
(College of Physics and Electric,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang,414006,China)

This paper presented respectively the exact solution of the Newell equation in a concise way by means of the hyperbolic tangent function expansion method and the improved trial function method.

Newell equation; novel exact solution; hyperbolic tangent function expansion method; improved trial function method

O175.29; O411.1

A

1672-5298(2015)01-0005-02

2014-11-12

国家自然科学基金项目(11172093)

谢元喜(1965- ),男,湖南冷水江人,博士,湖南理工学院物理与电子学院教授.主要研究方向:非线性物理和力学